Estudio de un movimiento armónico simple
De Laplace
(→Solución) |
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| Línea 3: | Línea 3: | ||
==Solución== | ==Solución== | ||
| - | Obtenemos la frecuencia | + | Obtenemos la frecuencia a partir de la ecuación del oscilador armónico |
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| + | <center><math>a = -\omega^2x\,</math></center> | ||
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| + | Esta ecuación se cumple en todo instante. En particular en el instante inicial, por lo que | ||
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| + | <center><math>\omega = \sqrt{-\frac{a_0}{x_0}}=\sqrt{\frac{0.20}{0.80}}\mathrm{s}^{-1}= 0.5\,\mathrm{s}^{-1}</math></center> | ||
| + | |||
| + | Una vez que tenemos la frecuencia, tenemos el periodo | ||
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| + | <center><math>T = \frac{2\pi}{\omega} = 4\pi\,\mathrm{s}=12.57\,\mathrm{s}</math></center> | ||
| + | |||
| + | A partir de las condiciones iniciales obtenemos el fasor (amplitud compleja) de la posición | ||
| + | |||
| + | <center><math>\hat{x}=x_0-\mathrm{j}\frac{v_0}{\omega}</math></center> | ||
| + | |||
| + | que en este caso es el número complejo | ||
| + | |||
| + | <center><math>\hat{x}=(0.80-\frac{0.60}{0.5}\mathrm{j})\,\mathrm{m}=(0.80-1.20\mathrm{j})\,\mathrm{m}</math></center> | ||
| + | |||
| + | A partir del fasor obtenemos la amplitud como su módulo | ||
| + | |||
| + | <center><math>A = |\hat{x}| = \sqrt{0.80^2+1.20^2}\,\mathrm{m}=1.44\,\mathrm{m}</math></center> | ||
| + | |||
| + | y la constante de fase como su argumento | ||
| + | |||
| + | <center><math>\varphi = \mathrm{arctg}\left(\frac{-1.20}{0.80}\right)=-0.983\,\mathrm{rad}</math></center> | ||
| + | |||
| + | El fasor de la velocidad es igual al de la posición multiplicado por <math>\mathrm{j}\omega</math> | ||
| + | |||
| + | <center><math>\hat{v}=\mathrm{j}\omega\hat{x}=(0.5\,\mathrm{j})(0.80-1.20\mathrm{j})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}= (0.60+0.40\mathrm{j})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center> | ||
| + | |||
| + | y el de la aceleración igual al de la velocidad multiplicado por <math>\mathrm{j}\omega</math> | ||
| + | |||
| + | <center><math>\hat{a}=\mathrm{j}\omega\hat{v}=(0.5\,\mathrm{j})(0.60+0.40\mathrm{j})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}= (-0.20+0.30\mathrm{j})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center> | ||
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| + | <center>[[Archivo:fasor-xvt.png|400px]]</center> | ||
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| + | A partir de aquí es inmediato obtener la amplitud y la constante de fase de la velocidad y de la aceleración. | ||
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| + | <center>[[Archivo:xvt-2.png]]</center> | ||
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[[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo (GIE)]] | [[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo (GIE)]] | ||
última version al 13:21 1 nov 2013
1 Enunciado
Un oscilador armónico con posición de equilibrio xeq = 0 se mueve de tal forma que en 
la partícula se halla en 
, moviéndose con velocidad 
y aceleración 
. Halle la frecuencia ω y el periodo del movimiento, su amplitud de oscilación y la fase inicial. Exprese los fasores (amplitudes complejas) de la posición, velocidad y aceleración.
2 Solución
Obtenemos la frecuencia a partir de la ecuación del oscilador armónico
Esta ecuación se cumple en todo instante. En particular en el instante inicial, por lo que
Una vez que tenemos la frecuencia, tenemos el periodo
A partir de las condiciones iniciales obtenemos el fasor (amplitud compleja) de la posición
que en este caso es el número complejo
A partir del fasor obtenemos la amplitud como su módulo
y la constante de fase como su argumento
El fasor de la velocidad es igual al de la posición multiplicado por jω
y el de la aceleración igual al de la velocidad multiplicado por jω
A partir de aquí es inmediato obtener la amplitud y la constante de fase de la velocidad y de la aceleración.
