6.5. Disco apoyado en placa

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 13:25 24 sep 2013

Contenido

1 Enunciado
2 Centros instantáneos de rotación
3 Reducciones cinemáticas

1 Enunciado

El sistema mecánico de la figura está constituido por los siguientes sólidos rígidos: El plano fijo $O 1 X 1 Y 1$ (sólido “1”); la placa cuadrada, de lado $L$ , que desliza sobre el eje $O 1 X 1$ , manteniendo su lado inferior completo en permanente contacto con él (sólido “3”); el disco, de centro en C y radio $R$ , que, en todo instante, rueda sin deslizar sobre el eje $O 1 Y 1$ en el punto de contacto B, a la vez que rueda y desliza sobre la placa cuadrada en el punto de contacto A (sólido “2”) y el sistema de ejes $A X 0 Y 0$ , definido de tal modo que el eje $A Y 0$ contiene permanentemente al centro C del disco, mientras que el eje $A X 0$ es tangente a dicho disco (sólido “0”).

Para el instante considerado en la figura, determine gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación $I 21$ , $I 20$ , $I 03$ , $I 23$ e $I 01$ .
Utilizando como parámetro el ángulo $θ$ del dibujo (ángulo que forma el eje $A X 0$ con respecto al lado superior de la placa cuadrada), y teniendo presentes las leyes de composición de velocidades y de velocidades angulares aplicadas a {21} = {20} + {03} + {31} halle las siguientes reducciones cinemáticas en C: $\{\vec{\omega}_{20}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{20}(\theta,\dot{\theta})\}$ , $\{\vec{\omega}_{03}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{03}(\theta,\dot{\theta})\}$ , $\{\vec{\omega}_{31}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{31}(\theta,\dot{\theta})\}$ y $\{\vec{\omega}_{21}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{21}(\theta,\dot{\theta})\}$ .

2 Centros instantáneos de rotación

Tenemos aquí cuatro sólidos y por tanto 6 centros instantáneos de rotación. Algunos de ellos son evidentes, otros requieren el uso del teorema de los tres centros.

Movimiento {21}: Dado que el disco rueda sin deslizar sobre la pared vertical, el CIR $I 21$ es el punto de contacto B entre el disco y la pared

$I_{21}=B\,$

Movimiento {20}: El punto C es un un punto material del disco “2” que ocupa una posición fija en el sistema “0” por cómo está definido éste. Al ser nula la velocidad $\vec{v}^C_{20}$ , este punto es el CIR de este movimiento

$I_{20}=C\,$

Movimiento {30}: Ocurre lo mismo que en el caso anterior, pero con el punto A: es un punto del sólido 3 que ocupa una posición fija en el sistema “0”. Por ello

$I_{30}=A\,$

Movimiento {31}: La placa se está trasladando horizontalmente. Por tanto, su centro instantáneo de rotación se encuentra situado en el infinito, según la dirección perpendicular a la velocidad, que en este caso es la que tomamos como vertical.
Movimiento {01}: Por el teorema de los tres centros $I 01$ se encuentra alineado con el $I 21$ y el $I 20$ . Por tanto se halla sobre la recta horizontal que pasa por C. Por el mismo teorema, se encuentra alineado con el $I 31$ y el $I 30$ . Por ello, se encuentra sobre la vertical que pasa por A. La intersección de estas dos rectas nos da el CIR $I 01$
Movimiento {32}: Para este punto aplicamos de nuevo dos veces el teorema de los tres centros. $I 32$ está alineado con $I 30$ e $I 20$ ., esto es se halla sobre la recta que pasa por A y C. Asimismo, se encuentra alineado con $I 31$ e $I 21$ , es decir, está en la recta vertical que pasa por B, el eje $O Y 1$ . La intersección de las dos rectas da el CIR buscado, $I 32$ .

3 Reducciones cinemáticas

Para las reducciones cinemáticas necesitamos hallar cuatro velocidades angulares y cuatro velocidades lineales del punto C. Puesto que el cálculo de cada una implica ir hallando simultáneamente el resto, calcularemos las diferentes cantidades de forma un tanto desordenada, y al final tabularemos los distintos resultados.

Comenzamos por el dato más sencillo: la velocidad de C en el movimiento {20} es nula, por tratarse del CIR de este movimiento

$\vec{v}^C_{20}=\vec{0}$

También es un dato la velocidad angular en el movimiento {03}

$\omega_{03}=\dot{\theta}$

Sabemos asimismo que el movimiento {31} es una traslación, por lo que

$\omega_{31}=0\,$

Esto nos permite hallar la velocidad angular en {01}

$\omega_{01}=\omega_{03}+\omega_{31}=\dot{\theta}\,$

Para obtener el resto de las cantidades usaremos, como indica el enunciado, la descomposición {21} = {20} + {03} + {31}. Consideremos el punto C, respecto al cual se nos piden las diferentes reducciones. La ley de composición de velocidades nos dice

$\vec{v}^C_{21} = \vec{v}^C_{20}+\vec{v}^C_{03}+\vec{v}^C_{31}$

Analicemos cada uno de estos sumandos:

Velocidad de C en {21}: Esta consiste en una rotación en torno al punto B, con una velocidad angular que por ahora no conocemos

$\vec{v}^C_{21}=\omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{BC}=\omega_{21}\vec{k}\times(R\vec{\imath}_1)=\omega_{21}R\vec{\jmath}_1$

Velocidad de C en {20}: Es nula, por tratarse del CIR de este movimiento

$\vec{v}^C_{20}=\vec{0}$

Velocidad de C en {03}: Esta es una rotación alrededor de A con velocidad angular $\dot{\theta}$

$\vec{v}^C_{03}=\dot{\theta}\vec{k}\times\overrightarrow{AC}=\dot{\theta}\vec{k}\times(R\vec{\jmath}_0)=-R\dot{\theta}\vec{\imath}_0$

Este resultado está en expresado en la base “0”. Si lo pasamos a la base “1” queda

$\vec{v}^C_{03}=-R\dot{\theta}\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)$

Velocidad de C en {31}: Este movimiento es una traslación horizontal

$\vec{v}^C_{31}=v_0\vec{\imath}_1$

Sumando los distintos términos e igualando nos queda

$\omega_{21}R\vec{\jmath}_1 = -R\dot{\theta}\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)+v_0\vec{\imath}_1$

Puesto que dos vectores son iguales si lo son sus componentes respectivas

$\left\{\begin{array}{lcr} 0 & = & -R\dot{\theta}\cos(\theta)+v_0\\ \omega_{21}R & = & -R\dot{\theta}\mathrm{sen}(\theta) \end{array}\right.$

Esto nos permite hallar las dos cantidades desconocidas

$v_0=R\dot{\theta}\cos(\theta)$ $\omega_{21}=-\dot{\theta}\mathrm{sen}(\theta)$

Por último, hallamos la velocidad angular {20}

$\omega_{20}=\omega_{21}+\omega_{10}=\omega_{21}-\omega_{01}=-\dot{\theta}(1+\mathrm{sen}(\theta))$

Con toda esta información, ya podemos enunciar las diferentes reducciones cinemáticas.

Movimiento {20}: En este movimiento C está en reposo y la velocidad angular es la que acabamos de calcular, por tanto

$\{\vec{\omega}_{20},\vec{v}^C_{20}\}=\{-\dot{\theta}(1+\mathrm{sen}(\theta))\vec{k},\vec{0}\}$

Movimiento {03}: En el movimiento {03} C efectúa una rotación en torno a A, tal que

$\{\vec{\omega}_{03},\vec{v}^C_{03}\}=\{\dot{\theta}\vec{k},-R\dot{\theta}\vec{\imath}_0\}$

Movimiento {31}: En el movimiento {31} C se está trasladando horizontalmente

$\{\vec{\omega}_{31},\vec{v}^C_{31}\}=\{\vec{0},R\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{\imath}_1\}$

Movimiento {21}: Por último, el movimiento {21} es una rotación alrededor de B

$\{\vec{\omega}_{21},\vec{v}^C_{21}\}=\{-\dot{\theta}\mathrm{sen}(\theta)\vec{k},-R\dot{\theta}\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\}$

@@ Línea 11: / Línea 11: @@
 ==Centros instantáneos de rotación==
+[[Archivo:disco-placa-02.png|right]]
 Tenemos aquí cuatro sólidos y por tanto 6 centros instantáneos de rotación. Algunos de ellos son evidentes, otros requieren el uso del teorema de los tres centros.
@@ Línea 19: / Línea 22: @@
 ;Movimiento {30}: Ocurre lo mismo que en el caso anterior, pero con el punto A: es un punto del sólido 3 que ocupa una posición fija en el sistema &ldquo;0&rdquo;. Por ello
 <center><math>I_{30}=A\,</math></center>
+;Movimiento {31}: La placa se está trasladando horizontalmente. Por tanto, su centro instantáneo de rotación se encuentra situado en el infinito, según la dirección perpendicular a la velocidad, que en este caso es la que tomamos como vertical.
+;Movimiento {01}: Por el teorema de los tres centros <math>I_{01}</math> se encuentra alineado con el <math>I_{21}</math> y el <math>I_{20}</math>. Por tanto se halla sobre la recta horizontal que pasa por C. Por el mismo teorema, se encuentra alineado con el <math>I_{31}</math> y el <math>I_{30}</math>. Por ello, se encuentra sobre la vertical que pasa por A. La intersección de estas dos rectas nos da el CIR <math>I_{01}</math>
+;Movimiento {32}: Para este punto aplicamos de nuevo dos veces el teorema de los tres centros. <math>I_{32}</math> está alineado con <math>I_{30}</math> e <math>I_{20}</math>., esto es se halla sobre la recta que pasa por A y C. Asimismo, se encuentra alineado con <math>I_{31}</math> e <math>I_{21}</math>, es decir, está en la recta vertical que pasa por B, el eje <math>OY_1</math>. La intersección de las dos rectas da el CIR buscado, <math>I_{32}</math>.
 ==Reducciones cinemáticas==
+Para las reducciones cinemáticas necesitamos hallar cuatro velocidades angulares y cuatro velocidades lineales del punto C. Puesto que el cálculo de cada una implica ir hallando simultáneamente el resto, calcularemos las diferentes cantidades de forma un tanto desordenada, y al final tabularemos los distintos resultados.
+Comenzamos por el dato más sencillo: la velocidad de C en el movimiento {20} es nula, por tratarse del CIR de este movimiento
+<center><math>\vec{v}^C_{20}=\vec{0}</math></center>
+También es un dato la velocidad angular en el movimiento {03}
+<center><math>\omega_{03}=\dot{\theta}</math></center>
+Sabemos asimismo que el movimiento {31} es una traslación, por lo que
+<center><math>\omega_{31}=0\,</math></center>
+Esto nos permite hallar la velocidad angular en {01}
+<center><math>\omega_{01}=\omega_{03}+\omega_{31}=\dot{\theta}\,</math></center>
+Para obtener el resto de las cantidades usaremos, como indica el enunciado, la descomposición {21} = {20} + {03} + {31}. Consideremos el punto C, respecto al cual se nos piden las diferentes reducciones. La ley de composición de velocidades nos dice
+<center><math>\vec{v}^C_{21} = \vec{v}^C_{20}+\vec{v}^C_{03}+\vec{v}^C_{31}</math></center>
+Analicemos cada uno de estos sumandos:
+;Velocidad de C en {21}: Esta consiste en una rotación en torno al punto B, con una velocidad angular que por ahora no conocemos
+<center><math>\vec{v}^C_{21}=\omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{BC}=\omega_{21}\vec{k}\times(R\vec{\imath}_1)=\omega_{21}R\vec{\jmath}_1</math></center>
+;Velocidad de C en {20}: Es nula, por tratarse del CIR de este movimiento
+<center><math>\vec{v}^C_{20}=\vec{0}</math></center>
+;Velocidad de C en {03}: Esta es una rotación alrededor de A con velocidad angular <math>\dot{\theta}</math>
+<center><math>\vec{v}^C_{03}=\dot{\theta}\vec{k}\times\overrightarrow{AC}=\dot{\theta}\vec{k}\times(R\vec{\jmath}_0)=-R\dot{\theta}\vec{\imath}_0</math></center>
+:Este resultado está en expresado en la base &ldquo;0&rdquo;. Si lo pasamos a la base &ldquo;1&rdquo; queda
+<center><math>\vec{v}^C_{03}=-R\dot{\theta}\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)</math></center>
+;Velocidad de C en {31}: Este movimiento es una traslación horizontal
+<center><math>\vec{v}^C_{31}=v_0\vec{\imath}_1</math></center>
+Sumando los distintos términos e igualando nos queda
+<center><math>\omega_{21}R\vec{\jmath}_1 = -R\dot{\theta}\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)+v_0\vec{\imath}_1</math></center>
+Puesto que dos vectores son iguales si lo son sus componentes respectivas
+<center><math>\left\{\begin{array}{lcr} 0 & = & -R\dot{\theta}\cos(\theta)+v_0\\
+ \omega_{21}R & =  & -R\dot{\theta}\mathrm{sen}(\theta) \end{array}\right.</math></center>
+Esto nos permite hallar las dos cantidades desconocidas
+<center><math>v_0=R\dot{\theta}\cos(\theta)</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\omega_{21}=-\dot{\theta}\mathrm{sen}(\theta)</math></center>
+Por último, hallamos la velocidad angular {20}
+<center><math>\omega_{20}=\omega_{21}+\omega_{10}=\omega_{21}-\omega_{01}=-\dot{\theta}(1+\mathrm{sen}(\theta))</math></center>
+Con toda esta información, ya podemos enunciar las diferentes reducciones cinemáticas.
+;Movimiento {20}: En este movimiento C está en reposo y la velocidad angular es la que acabamos de calcular, por tanto
+<center><math>\{\vec{\omega}_{20},\vec{v}^C_{20}\}=\{-\dot{\theta}(1+\mathrm{sen}(\theta))\vec{k},\vec{0}\}</math></center>
+;Movimiento {03}: En el movimiento {03} C efectúa una rotación en torno a A, tal que
+<center><math>\{\vec{\omega}_{03},\vec{v}^C_{03}\}=\{\dot{\theta}\vec{k},-R\dot{\theta}\vec{\imath}_0\}</math></center>
+;Movimiento {31}: En el movimiento {31} C se está trasladando horizontalmente
+<center><math>\{\vec{\omega}_{31},\vec{v}^C_{31}\}=\{\vec{0},R\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{\imath}_1\}</math></center>
+;Movimiento {21}: Por último, el movimiento {21} es una rotación alrededor de B
+<center><math>\{\vec{\omega}_{21},\vec{v}^C_{21}\}=\{-\dot{\theta}\mathrm{sen}(\theta)\vec{k},-R\dot{\theta}\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\}</math></center>
 [[Categoría:Problemas de movimiento plano (G.I.T.I.)]]

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