6.5. Disco apoyado en placa
De Laplace
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1 Enunciado
El sistema mecánico de la figura está constituido por los siguientes sólidos rígidos: El plano fijo O1X1Y1 (sólido “1”); la placa cuadrada, de lado L, que desliza sobre el eje O1X1, manteniendo su lado inferior completo en permanente contacto con él (sólido “3”); el disco, de centro en C y radio R, que, en todo instante, rueda sin deslizar sobre el eje O1Y1 en el punto de contacto B, a la vez que rueda y desliza sobre la placa cuadrada en el punto de contacto A (sólido “2”) y el sistema de ejes AX0Y0, definido de tal modo que el eje AY0 contiene permanentemente al centro C del disco, mientras que el eje AX0 es tangente a dicho disco (sólido “0”).
- Para el instante considerado en la figura, determine gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación I21, I20, I03, I23 e I01.
- Utilizando como parámetro el ángulo θ del dibujo (ángulo que forma el eje AX0 con respecto al lado superior de la placa cuadrada), y teniendo presentes las leyes de composición de velocidades y de velocidades angulares aplicadas a {21} = {20} + {03} + {31} halle las siguientes reducciones cinemáticas en C:
,
,
y
.
![Archivo:disco-apoyado-caja.png](/wiki/images/5/51/Disco-apoyado-caja.png)
2 Centros instantáneos de rotación
Tenemos aquí cuatro sólidos y por tanto 6 centros instantáneos de rotación. Algunos de ellos son evidentes, otros requieren el uso del teorema de los tres centros.
- Movimiento {21}
- Dado que el disco rueda sin deslizar sobre la pared vertical, el CIR I21 es el punto de contacto B entre el disco y la pared
![I_{21}=B\,](/wiki/images/math/4/7/a/47abadf2140d777ad81dab073a6ec9d5.png)
- Movimiento {20}
- El punto C es un un punto material del disco “2” que ocupa una posición fija en el sistema “0” por cómo está definido éste. Al ser nula la velocidad
, este punto es el CIR de este movimiento
![I_{20}=C\,](/wiki/images/math/5/8/6/58677231eaf402bd52a11c5bb2a7e118.png)
- Movimiento {30}
- Ocurre lo mismo que en el caso anterior, pero con el punto A: es un punto del sólido 3 que ocupa una posición fija en el sistema “0”. Por ello
![I_{30}=A\,](/wiki/images/math/7/5/9/75986e7241e62132cfe1562587a2d8fb.png)
- Movimiento {31}
- La placa se está trasladando horizontalmente. Por tanto, su centro instantáneo de rotación se encuentra situado en el infinito, según la dirección perpendicular a la velocidad, que en este caso es la que tomamos como vertical.
- Movimiento {01}
- Por el teorema de los tres centros I01 se encuentra alineado con el I21 y el I20. Por tanto se halla sobre la recta horizontal que pasa por C. Por el mismo teorema, se encuentra alineado con el I31 y el I30. Por ello, se encuentra sobre la vertical que pasa por A. La intersección de estas dos rectas nos da el CIR I01
- Movimiento {32}
- Para este punto aplicamos de nuevo dos veces el teorema de los tres centros. I32 está alineado con I30 e I20., esto es se halla sobre la recta que pasa por A y C. Asimismo, se encuentra alineado con I31 e I21, es decir, está en la recta vertical que pasa por B, el eje OY1. La intersección de las dos rectas da el CIR buscado, I32.
3 Reducciones cinemáticas
Para las reducciones cinemáticas necesitamos hallar cuatro velocidades angulares y cuatro velocidades lineales del punto C. Puesto que el cálculo de cada una implica ir hallando simultáneamente el resto, calcularemos las diferentes cantidades de forma un tanto desordenada, y al final tabularemos los distintos resultados.
Comenzamos por el dato más sencillo: la velocidad de C en el movimiento {20} es nula, por tratarse del CIR de este movimiento
![\vec{v}^C_{20}=\vec{0}](/wiki/images/math/2/8/a/28a819462bcee8e70f6c3bc319401ecb.png)
También es un dato la velocidad angular en el movimiento {03}
![\omega_{03}=\dot{\theta}](/wiki/images/math/8/b/2/8b2b53e5efab46abf5a292747f40ceab.png)
Sabemos asimismo que el movimiento {31} es una traslación, por lo que
![\omega_{31}=0\,](/wiki/images/math/4/a/d/4add12a96833c77119d17bb682b8ed78.png)
Esto nos permite hallar la velocidad angular en {01}
![\omega_{01}=\omega_{03}+\omega_{31}=\dot{\theta}\,](/wiki/images/math/c/6/3/c639fa36bd9ce41fbac89021187e8a7d.png)
Para obtener el resto de las cantidades usaremos, como indica el enunciado, la descomposición {21} = {20} + {03} + {31}. Consideremos el punto C, respecto al cual se nos piden las diferentes reducciones. La ley de composición de velocidades nos dice
![\vec{v}^C_{21} = \vec{v}^C_{20}+\vec{v}^C_{03}+\vec{v}^C_{31}](/wiki/images/math/f/2/6/f269bd5a44354aebeb5987de89a9a32d.png)
Analicemos cada uno de estos sumandos:
- Velocidad de C en {21}
- Esta consiste en una rotación en torno al punto B, con una velocidad angular que por ahora no conocemos
![\vec{v}^C_{21}=\omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{BC}=\omega_{21}\vec{k}\times(R\vec{\imath}_1)=\omega_{21}R\vec{\jmath}_1](/wiki/images/math/1/9/2/1923d1471e87f466aa8529ccf5b802a6.png)
- Velocidad de C en {20}
- Es nula, por tratarse del CIR de este movimiento
![\vec{v}^C_{20}=\vec{0}](/wiki/images/math/2/8/a/28a819462bcee8e70f6c3bc319401ecb.png)
- Velocidad de C en {03}
- Esta es una rotación alrededor de A con velocidad angular
![\vec{v}^C_{03}=\dot{\theta}\vec{k}\times\overrightarrow{AC}=\dot{\theta}\vec{k}\times(R\vec{\jmath}_0)=-R\dot{\theta}\vec{\imath}_0](/wiki/images/math/9/4/1/941cdcbcd964db48f8e7f0ece6eb8e94.png)
- Este resultado está en expresado en la base “0”. Si lo pasamos a la base “1” queda
![\vec{v}^C_{03}=-R\dot{\theta}\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)](/wiki/images/math/5/6/5/5657b23b8622ed69277726e4545ea673.png)
- Velocidad de C en {31}
- Este movimiento es una traslación horizontal
![\vec{v}^C_{31}=v_0\vec{\imath}_1](/wiki/images/math/7/c/3/7c3ff2507eb42af43258cad9495390e2.png)
Sumando los distintos términos e igualando nos queda
![\omega_{21}R\vec{\jmath}_1 = -R\dot{\theta}\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)+v_0\vec{\imath}_1](/wiki/images/math/a/7/0/a7056ba258dfe287efeccbbd2b487cb2.png)
Puesto que dos vectores son iguales si lo son sus componentes respectivas
![\left\{\begin{array}{lcr} 0 & = & -R\dot{\theta}\cos(\theta)+v_0\\
\omega_{21}R & = & -R\dot{\theta}\mathrm{sen}(\theta) \end{array}\right.](/wiki/images/math/5/4/f/54f0ad0a63f0d388a8afbae92ba3df47.png)
Esto nos permite hallar las dos cantidades desconocidas
![v_0=R\dot{\theta}\cos(\theta)](/wiki/images/math/e/7/f/e7fb0f71889a379f8040edf88d43b70b.png)
![\omega_{21}=-\dot{\theta}\mathrm{sen}(\theta)](/wiki/images/math/5/6/7/5671523741d957d43528763389f2e1a9.png)
Por último, hallamos la velocidad angular {20}
![\omega_{20}=\omega_{21}+\omega_{10}=\omega_{21}-\omega_{01}=-\dot{\theta}(1+\mathrm{sen}(\theta))](/wiki/images/math/2/7/5/275627b96045d0d5b1926cf5688f6444.png)
Con toda esta información, ya podemos enunciar las diferentes reducciones cinemáticas.
- Movimiento {20}
- En este movimiento C está en reposo y la velocidad angular es la que acabamos de calcular, por tanto
![\{\vec{\omega}_{20},\vec{v}^C_{20}\}=\{-\dot{\theta}(1+\mathrm{sen}(\theta))\vec{k},\vec{0}\}](/wiki/images/math/5/0/2/502f735f7ab20fed3d6e8363803b8b29.png)
- Movimiento {03}
- En el movimiento {03} C efectúa una rotación en torno a A, tal que
![\{\vec{\omega}_{03},\vec{v}^C_{03}\}=\{\dot{\theta}\vec{k},-R\dot{\theta}\vec{\imath}_0\}](/wiki/images/math/f/b/a/fbab088e6abb23bf0627ff2468e6fb82.png)
- Movimiento {31}
- En el movimiento {31} C se está trasladando horizontalmente
![\{\vec{\omega}_{31},\vec{v}^C_{31}\}=\{\vec{0},R\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{\imath}_1\}](/wiki/images/math/8/a/1/8a1254be7e93186658adee7d96c28301.png)
- Movimiento {21}
- Por último, el movimiento {21} es una rotación alrededor de B
![\{\vec{\omega}_{21},\vec{v}^C_{21}\}=\{-\dot{\theta}\mathrm{sen}(\theta)\vec{k},-R\dot{\theta}\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\}](/wiki/images/math/9/c/0/9c0d223bb952e68b4cfa00f77f970268.png)