3.6. Oscilador armónico en el plano

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 12:01 24 sep 2013

Contenido

1 Enunciado
2 Momento cinético y energía
- 2.1 Momento cinético
- 2.2 Energía mecánica
3 Integrales primeras
- 3.1 Momento cinético
- 3.2 Energía mecánica
4 Movimiento plano

1 Enunciado

Una partícula de masa $m$ se encuentra sujeta a un resorte de constante $k$ y longitud natural nula, el cual ejerce una fuerza

$\vec{F}=-k\vec{r}$

La posición inicial de la masa y su velocidad inicial son:

$\vec{r}_0=x_0\vec{\imath}$ $\vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}$

Exprese el momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas $O$ y la energía mecánica de la partícula en función de $x$ , $y$ , $z$ y sus derivadas temporales, $\dot{x}$ , $\dot{y}$ y $\dot{z}$ .
Demuestre que las dos magnitudes anteriores son integrales primeras y evalúelas en función de las condiciones iniciales.
Demuestre que el movimiento de esta partícula se restringe al plano OXY y que su velocidad areolar respecto al punto $O$ es constante.

2 Momento cinético y energía

2.1 Momento cinético

Obtenemos el momento cinético multiplicando el vector de posición por la cantidad de movimiento. Separando en coordenadas cartesianas

$\vec{L}=m\vec{r}\times\vec{v}=m\left|\begin{matrix} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ x & y & z \\ \dot{x} & \dot{y} & \dot{z}\end{matrix}\right| = m(y\dot{z}-z\dot{y})\vec{\imath}+m(z\dot{x}-x\dot{z})\vec{\jmath} + (x\dot{y}-y\dot{x})\vec{k}$

2.2 Energía mecánica

La energía mecánica es suma de la cinética

$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)$

y la potencial

$U = \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)$

Resultando la energía

$E = K + U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2) + \frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)$

3 Integrales primeras

3.1 Momento cinético

La constancia del momento cinético es una consecuencia inmediata de que la fuerza producida por un oscilador armónico sea una fuerza central.

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}= \vec{r}\times\vec{F}=-k\vec{r}\times\vec{r}=\vec{0}$

Podemos llegar a este resultado componente a componente a partir de la expresión obtenida en el primer apartado. Así, para la componente z del momento cinético

$\frac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(m(x\dot{y}-y\dot{x})\right) = m\left(\dot{x}\dot{y}+x\ddot{y}-\dot{y}\dot{x}-y\ddot{x}\right) = x(m\ddot{y})-y(m\ddot{x})$

Sustituyendo aquí la ley de Hooke

$m\ddot{x}=-kx$ $m\ddot{y}=-ky$

queda

$\frac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t}=-kxy+kxy=0$

El valor del momento cinético lo obtenemos sustituyendo las condiciones iniciales

$\vec{L}=m\vec{r}_0\times\vec{v}_0 = mx_0v_0\vec{k}$

y, separando en sus componentes cartesianas

$L_x = m(y\dot{z}-z\dot{y})=0$ $L_y=m(z\dot{x}-x\dot{z})=0$ $L_z=m(x\dot{y}-y\dot{x})=mx_0v_0$

3.2 Energía mecánica

La constancia de la energía mecánica es una consecuencia inmediata de que la fuerza producida por un oscilador armónico sea una fuerza conservativa:

$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}-\frac{\delta W}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}-P=0$

También podemos comprobar que la energía mecánica es una integral primera derivando respecto al tiempo la expresión de ella que obtuvimos en el primer apartado:

$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{m}{2}(2\dot{x}\ddot{x}+2\dot{y}\ddot{y}+\dot{z}\ddot{z})+ \frac{k}{2}(2x\dot{x}+2y\dot{y}+2z\dot{z})$

Agrupando términos y aplicando de nuevo la ley de Hooke

$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\dot{x}(m\ddot{x}+kx)+ \dot{y}(m\ddot{y}+ky) +\dot{z}(m\ddot{z}+kz)= 0$

Por tanto, la energía mecánica es una constante de movimiento. Su valor lo obtenemos igualándola a su valor inicial

$E = \frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)+\frac{k}{2}(x^2+y^2+z^2) = \frac{mv_0^2}{2}+\frac{kx_0^2}{2}$

4 Movimiento plano

Al ser constante el momento cinético, la trayectoria es plana, siendo el plano de la órbita uno ortogonal al vector $\vec{L}$ . Este plano es el definido por el vector de posición inicial (medido desde el centro de fuerzas) y la velocidad inicial.

En este caso tenemos que

$\vec{r}_0=x_0\vec{\imath}\qquad\qquad\vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}$

El plano definido por estos dos vectores y el centro de fuerzas es el plano OXY, por lo que la trayectoria se limita a este plano.

La velocidad areolar con la que se barre la órbita es proporcional al momento cinético y por tanto constante.

$\vec{V}_A=\frac{1}{2}\vec{r}\times\vec{v}=\frac{1}{2m}\vec{L}=\frac{1}{2}x_0v_0\vec{k}$

En el caso del oscilador armónico las órbitas se pueden determinar analíticamente y resultan elipses de ecuaciones paramétricas

$x = x_0\cos(\omega t)\qquad y = \frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)\qquad z = 0\qquad \omega = \sqrt\frac{k}{m}$

Estas elipses tienen al origen de coordenadas como centro. Al ser constante la velocidad areolar, la partícula barre áreas iguales en tiempos iguales.

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
 ==Enunciado==
-Una partícula de masa <math>m</math> se encuentra sujeta a un resorte de constante <math>k</math> y longitud natural nula, que ejerce una fuerza
+Una partícula de masa <math>m</math> se encuentra sujeta a un resorte de constante <math>k</math> y longitud natural nula, el cual ejerce una fuerza
 <center><math>\vec{F}=-k\vec{r}</math></center>
@@ Línea 8: / Línea 8: @@
 <center><math>\vec{r}_0=x_0\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}</math></center>
-# Exprese el momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas, <math>O</math>, y la energía mecánica de la partícula en función de <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> y sus derivadas temporales, <math>\dot{x}</math>, <math>\dot{y}</math> y <math>\dot{z}</math>.
+# Exprese el momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas <math>O</math> y la energía mecánica de la partícula en función de <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> y sus derivadas temporales, <math>\dot{x}</math>, <math>\dot{y}</math> y <math>\dot{z}</math>.
 # Demuestre que las dos magnitudes anteriores son integrales primeras y evalúelas en función de las condiciones iniciales.
-# Demuestre que el movimiento de esta partícula se restringe al plano <math>OXY</math> y que su velocidad areolar respecto al punto <math>O</math> es constante.
+# Demuestre que el movimiento de esta partícula se restringe al plano OXY y que su velocidad areolar respecto al punto <math>O</math> es constante.
 ==Momento cinético y energía==
@@ Línea 24: / Línea 24: @@
 <center><math>K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)</math></center>
-y la potencial
+y la [[Cálculo_de_energías_potenciales#Caso_tridimensional|potencial]]
 <center><math>U = \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)</math></center>
@@ Línea 30: / Línea 30: @@
 Resultando la energía
-<center><math>E = K + U = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2) + \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)</math></center>
+<center><math>E = K + U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2) + \frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)</math></center>
 ==Integrales primeras==
@@ Línea 38: / Línea 38: @@
 <center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}= \vec{r}\times\vec{F}=-k\vec{r}\times\vec{r}=\vec{0}</math></center>
-Podemos llegar  a este resultado a partir de la expresión componente a componente. Así, para la componente z del momento cinético
+Podemos llegar  a este resultado componente a componente a partir de la expresión obtenida en el primer apartado. Así, para la componente z del momento cinético
 <center><math>\frac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(m(x\dot{y}-y\dot{x})\right) =
-m\left(\dot{x}\dot{y}+x\ddot{y}-\dot{y}\dot{x}-y\ddot{x}\right) =
+m\left(\dot{x}\dot{y}+x\ddot{y}-\dot{y}\dot{x}-y\ddot{x}\right) = x(m\ddot{y})-y(m\ddot{x})</math></center>
-x(m\ddot{y})-y(m\ddot{x})</math></center>
 Sustituyendo aquí la ley de Hooke
@@ Línea 58: / Línea 57: @@
 y, separando en sus componentes cartesianas
-<center><math>L_x = m(y\dot{z}-z\dot{y})=0</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>L_y=m(z\dot{x}-x\dot{z})=0</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>m(x\dot{y}-y\dot{x})=mx_0v_0</math></center>
+<center><math>L_x = m(y\dot{z}-z\dot{y})=0</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>L_y=m(z\dot{x}-x\dot{z})=0</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>L_z=m(x\dot{y}-y\dot{x})=mx_0v_0</math></center>
+===Energía mecánica===
+La constancia de la energía mecánica es una consecuencia inmediata de que la fuerza producida por un oscilador armónico sea una fuerza conservativa:
+<center><math>\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}-\frac{\delta W}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}-P=0</math></center>
-Al ser constante el momento cinético, la trayectoria es plana, siendo el plano de la
+También podemos comprobar que la energía mecánica es una integral primera derivando respecto al tiempo la expresión de ella que obtuvimos en el primer apartado:
-órbita el definido por el vector de posición inicial (medido desde el centro de fuerzas)
-y la velocidad inicial.
-En este caso tenemos que
+<center><math>\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{m}{2}(2\dot{x}\ddot{x}+2\dot{y}\ddot{y}+\dot{z}\ddot{z})+
+\frac{k}{2}(2x\dot{x}+2y\dot{y}+2z\dot{z})</math></center>
-<center><math>\vec{r}_0=x_0\vec{\imath}\qquad\qquad\vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}</math></center>
+Agrupando términos y aplicando de nuevo la ley de Hooke
-El plano definido por estos dos vectores y el centro de fuerzas es el plano OXY, por lo
+<center><math>\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\dot{x}(m\ddot{x}+kx)+
-que la trayectoria se limita a este plano.
+\dot{y}(m\ddot{y}+ky) +\dot{z}(m\ddot{z}+kz)= 0</math></center>
-==Valor del momento cinético==
+Por tanto, la energía mecánica es una constante de movimiento. Su valor lo obtenemos igualándola a su valor inicial
-Al estar limitada la trayectoria al plano OXY, el momento cinético posee solo componente
-en la dirección de OZ. la expresión de \vec{L} es
-<center><math>\vec{L}=m\vec{r}\times\vec{v} = m\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} &
+<center><math>E = \frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)+\frac{k}{2}(x^2+y^2+z^2) =
-\vec{k} \\ x & y & 0 \\ \dot{x} & \dot{y} & 0\end{matrix}\right| =
+\frac{mv_0^2}{2}+\frac{kx_0^2}{2}</math></center>
-m(x\dot{y}-y\dot{x})\vec{k}</math></center>
-Podemos demostrar directamente la constancia de esta cantidad derivándola respecto al
+==Movimiento plano==
-tiempo
+<!--
+[[Archivo:kepler-armonico.gif|right]]
+-->
+Al ser constante el momento cinético, la trayectoria es plana, siendo el plano de la órbita uno ortogonal al vector <math>\vec{L}</math>. Este plano es el definido por el vector de posición inicial (medido desde el centro de fuerzas) y la velocidad inicial.
+En este caso tenemos que
-De la constancia del momento cinético deducimos que la partícula no puede llegar a
+<center><math>\vec{r}_0=x_0\vec{\imath}\qquad\qquad\vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}</math></center>
-detenerse en ningún momento (cosa que sí ocurre en el oscilador armónico en una
-dimensión), ya que no podemos hacer simultáneamente <math>\dot{x}=\dot{y}=0</math>.
-Por una razón análoga vemos que el oscilador no puede pasar por el origen de coordenadas,
+El plano definido por estos dos vectores y el centro de fuerzas es el plano OXY, por lo que la trayectoria se limita a este plano.
-sino que habrá un valor mínimo de la distancia al origen.
-==Energía mecánica==
+La velocidad areolar con la que se barre la órbita es proporcional al momento cinético y por tanto constante.
-La energía mecánica de un oscilador armónico es la suma de la cinética más la
-correspondiente energía potencial
-<center><math>E = \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kr^2</math></center>
+<center><math>\vec{V}_A=\frac{1}{2}\vec{r}\times\vec{v}=\frac{1}{2m}\vec{L}=\frac{1}{2}x_0v_0\vec{k}</math></center>
-que para el caso bidimensional queda
+En el caso del oscilador armónico las órbitas se pueden determinar analíticamente y resultan elipses de ecuaciones paramétricas
-<center><math>E = \frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2)+\frac{k}{2}(x^2+y^2)</math></center>
+<center><math>x = x_0\cos(\omega t)\qquad y = \frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)\qquad z = 0\qquad \omega = \sqrt\frac{k}{m}</math></center>
-Demostramos que es una integral primera derivándola respecto al tiempo
+Estas elipses tienen al origen de coordenadas como centro. Al ser constante la velocidad areolar, la partícula barre áreas iguales en tiempos iguales.
-<center><math>\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{m}{2}(2\dot{x}\ddot{x}+2\dot{y}\ddot{y})+
-\frac{k}{2}(2x\dot{x}+2y\dot{y})</math></center>
-Agrupando términos y aplicando de nuevo la ley de Hooke
-<center><math>\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\dot{x}(m\ddot{x}+kx)
-\dot{y}(m\ddot{y}+ky) = 0</math></center>
-Por tanto, la energía mecánica es una constante de movimiento. Su valor lo obtenemos
-igualándola a su valor inicial
-<center><math>E = \frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2)+\frac{k}{2}(x^2+y^2) =
-\frac{mv_0^2}{2}+\frac{kx_0^2}{2}</math></center>
 [[Categoría:Problemas de dinámica del punto material (G.I.T.I.)]]

3.6. Oscilador armónico en el plano

De Laplace

última version al 12:01 24 sep 2013

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1 Enunciado

2 Momento cinético y energía

2.1 Momento cinético

2.2 Energía mecánica

3 Integrales primeras

3.1 Momento cinético

3.2 Energía mecánica

4 Movimiento plano

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