3.6. Oscilador armónico en el plano

De Laplace

(Redirigido desde 4.6. Oscilador armónico en el plano)

Contenido

1 Enunciado
2 Momento cinético y energía
- 2.1 Momento cinético
- 2.2 Energía mecánica
3 Integrales primeras
- 3.1 Momento cinético
- 3.2 Energía mecánica
4 Movimiento plano

1 Enunciado

Una partícula de masa $m$ se encuentra sujeta a un resorte de constante $k$ y longitud natural nula, el cual ejerce una fuerza

$\vec{F}=-k\vec{r}$

La posición inicial de la masa y su velocidad inicial son:

$\vec{r}_0=x_0\vec{\imath}$ $\vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}$

Exprese el momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas $O$ y la energía mecánica de la partícula en función de $x$ , $y$ , $z$ y sus derivadas temporales, $\dot{x}$ , $\dot{y}$ y $\dot{z}$ .
Demuestre que las dos magnitudes anteriores son integrales primeras y evalúelas en función de las condiciones iniciales.
Demuestre que el movimiento de esta partícula se restringe al plano OXY y que su velocidad areolar respecto al punto $O$ es constante.

2 Momento cinético y energía

2.1 Momento cinético

Obtenemos el momento cinético multiplicando el vector de posición por la cantidad de movimiento. Separando en coordenadas cartesianas

$\vec{L}=m\vec{r}\times\vec{v}=m\left|\begin{matrix} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ x & y & z \\ \dot{x} & \dot{y} & \dot{z}\end{matrix}\right| = m(y\dot{z}-z\dot{y})\vec{\imath}+m(z\dot{x}-x\dot{z})\vec{\jmath} + (x\dot{y}-y\dot{x})\vec{k}$

2.2 Energía mecánica

La energía mecánica es suma de la cinética

$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)$

y la potencial

$U = \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)$

Resultando la energía

$E = K + U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2) + \frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)$

3 Integrales primeras

3.1 Momento cinético

La constancia del momento cinético es una consecuencia inmediata de que la fuerza producida por un oscilador armónico sea una fuerza central.

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}= \vec{r}\times\vec{F}=-k\vec{r}\times\vec{r}=\vec{0}$

Podemos llegar a este resultado componente a componente a partir de la expresión obtenida en el primer apartado. Así, para la componente z del momento cinético

$\frac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(m(x\dot{y}-y\dot{x})\right) = m\left(\dot{x}\dot{y}+x\ddot{y}-\dot{y}\dot{x}-y\ddot{x}\right) = x(m\ddot{y})-y(m\ddot{x})$

Sustituyendo aquí la ley de Hooke

$m\ddot{x}=-kx$ $m\ddot{y}=-ky$

queda

$\frac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t}=-kxy+kxy=0$

El valor del momento cinético lo obtenemos sustituyendo las condiciones iniciales

$\vec{L}=m\vec{r}_0\times\vec{v}_0 = mx_0v_0\vec{k}$

y, separando en sus componentes cartesianas

$L_x = m(y\dot{z}-z\dot{y})=0$ $L_y=m(z\dot{x}-x\dot{z})=0$ $L_z=m(x\dot{y}-y\dot{x})=mx_0v_0$

3.2 Energía mecánica

La constancia de la energía mecánica es una consecuencia inmediata de que la fuerza producida por un oscilador armónico sea una fuerza conservativa:

$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}-\frac{\delta W}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}-P=0$

También podemos comprobar que la energía mecánica es una integral primera derivando respecto al tiempo la expresión de ella que obtuvimos en el primer apartado:

$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{m}{2}(2\dot{x}\ddot{x}+2\dot{y}\ddot{y}+\dot{z}\ddot{z})+ \frac{k}{2}(2x\dot{x}+2y\dot{y}+2z\dot{z})$

Agrupando términos y aplicando de nuevo la ley de Hooke

$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\dot{x}(m\ddot{x}+kx)+ \dot{y}(m\ddot{y}+ky) +\dot{z}(m\ddot{z}+kz)= 0$

Por tanto, la energía mecánica es una constante de movimiento. Su valor lo obtenemos igualándola a su valor inicial

$E = \frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)+\frac{k}{2}(x^2+y^2+z^2) = \frac{mv_0^2}{2}+\frac{kx_0^2}{2}$

4 Movimiento plano

Al ser constante el momento cinético, la trayectoria es plana, siendo el plano de la órbita uno ortogonal al vector $\vec{L}$ . Este plano es el definido por el vector de posición inicial (medido desde el centro de fuerzas) y la velocidad inicial.

En este caso tenemos que

$\vec{r}_0=x_0\vec{\imath}\qquad\qquad\vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}$

El plano definido por estos dos vectores y el centro de fuerzas es el plano OXY, por lo que la trayectoria se limita a este plano.

La velocidad areolar con la que se barre la órbita es proporcional al momento cinético y por tanto constante.

$\vec{V}_A=\frac{1}{2}\vec{r}\times\vec{v}=\frac{1}{2m}\vec{L}=\frac{1}{2}x_0v_0\vec{k}$

En el caso del oscilador armónico las órbitas se pueden determinar analíticamente y resultan elipses de ecuaciones paramétricas

$x = x_0\cos(\omega t)\qquad y = \frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)\qquad z = 0\qquad \omega = \sqrt\frac{k}{m}$

Estas elipses tienen al origen de coordenadas como centro. Al ser constante la velocidad areolar, la partícula barre áreas iguales en tiempos iguales.

3.6. Oscilador armónico en el plano

De Laplace

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1 Enunciado

2 Momento cinético y energía

2.1 Momento cinético

2.2 Energía mecánica

3 Integrales primeras

3.1 Momento cinético

3.2 Energía mecánica

4 Movimiento plano

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