1.6. Teoremas del seno y del coseno
De Laplace
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<center><math>\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}</math></center> | <center><math>\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}</math></center> | ||
| - | en un triángulo de lados <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math> y ángulos opuestos <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> y <math>\gamma</math>. | + | en un triángulo de lados <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math>, y ángulos opuestos <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> y <math>\gamma</math>. |
==Teorema del coseno== | ==Teorema del coseno== | ||
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Si consideramos los lados del triángulo como segmentos orientados, se verifica la ecuación vectorial | Si consideramos los lados del triángulo como segmentos orientados, se verifica la ecuación vectorial | ||
| - | <center><math>\vec{a}+\vec{b} = \vec{c}</math></center> | + | <center><math>\vec{a}= \vec{b} + \vec{c}</math></center> |
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| + | o, equivalentemente | ||
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| + | <center><math>\vec{a}- \vec{b} = \vec{c}</math></center> | ||
Si multiplicamos esta ecuación escalarmente por sí misma | Si multiplicamos esta ecuación escalarmente por sí misma | ||
| - | <center><math>(\vec{a} | + | <center><math>(\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{c}\cdot\vec{c}=c^2</math></center> |
Desarrollando el producto escalar | Desarrollando el producto escalar | ||
| - | <center><math>\vec{a}\cdot\vec{a} | + | <center><math>\vec{a}\cdot\vec{a}-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}=c^2</math></center> |
| - | El ángulo que forman los vectores <math>\vec{a}</math> y <math>\vec{b}</math> es | + | El ángulo que forman los vectores <math>\vec{a}</math> y <math>\vec{b}</math> es <math>\gamma</math> por lo que finalmente obtenemos |
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| - | por lo que finalmente obtenemos | + | |
<center><math>a^2 -2ab\,\cos\gamma + b^2 = c^2</math></center> | <center><math>a^2 -2ab\,\cos\gamma + b^2 = c^2</math></center> | ||
| Línea 38: | Línea 40: | ||
==Teorema del seno== | ==Teorema del seno== | ||
| + | El área de un triángulo es la mitad del área de un paralelogramo y por tanto | ||
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| + | <center><math>A = \frac{1}{2}\left|\vec{a}\times\vec{b}\right| = \frac{1}{2}\left|\vec{b}\times\vec{c}\right| = \frac{1}{2}\left|\vec{a}\times\vec{c}\right|</math></center> | ||
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| + | Desarrollando los módulos de los productos vectoriales | ||
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| + | <center><math>A = \frac{ab\,\mathrm{sen}\,\gamma}{2}=\frac{bc\,\mathrm{sen}\,\alpha}{2}=\frac{ac\,\mathrm{sen}\,\beta}{2}</math></center> | ||
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| + | Dividiendo por el producto <math>abc</math> y multiplicando por 2 nos queda | ||
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| + | <center><math>\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}=\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}</math></center> | ||
| + | que es el teorema del seno. | ||
[[Categoría:Problemas de vectores libres (G.I.T.I.)]] | [[Categoría:Problemas de vectores libres (G.I.T.I.)]] | ||
última version al 17:44 13 sep 2013
1 Enunciado
Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno
y del seno
en un triángulo de lados a, b y c, y ángulos opuestos α, β y γ.
2 Teorema del coseno
Si consideramos los lados del triángulo como segmentos orientados, se verifica la ecuación vectorial
o, equivalentemente
Si multiplicamos esta ecuación escalarmente por sí misma
Desarrollando el producto escalar
El ángulo que forman los vectores 
y 
es γ por lo que finalmente obtenemos
que es el teorema del coseno.
Expresiones análogas pueden obtenerse para los otros dos ángulos.
3 Teorema del seno
El área de un triángulo es la mitad del área de un paralelogramo y por tanto
Desarrollando los módulos de los productos vectoriales
Dividiendo por el producto abc y multiplicando por 2 nos queda
que es el teorema del seno.
