1.2. Paralelogramo en cuadrilátero
De Laplace
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| + | <center><math>\overrightarrow{OE}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{OF}=\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{OG}=\frac{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}}{2}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{OH}=\frac{\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}}{2}</math></center> | ||
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| + | Para demostrar que estos cuatro puntos forman un paralelogramo, debemos probar que sus lados son paralelos dos a dos. El vector que une E y F es | ||
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| + | El vector que une H y G se calcula de la misma forma | ||
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| + | <center><math>\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OH}=\frac{\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}}{2}=\overrightarrow{EF}</math></center> | ||
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| + | Resulta un vector idéntico al anterior y por tanto el vector ligado <math>\overrightarrow{HG}</math> es paralelo al <math>\overrightarrow{EF}</math>. | ||
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| + | Operando del mismo modo se demuestra que <math>\overrightarrow{FG}</math> y <math>\overrightarrow{EH}</math> son también paralelos e iguales. | ||
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| + | Por tanto, el cuadrilátero EFGH es un paralelogramo, esto es, una figura plana con lados paralelos dos a dos. | ||
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| + | Nótese que no se hace ninguna restricción sobre el cuadrilátero ABCD. Ni siquiera se exige que sea una figura plana. Puede ser una estructura articulada tridimensional y aun así, los puntos medios yacen en el mismo plano y forman un paralelogramo. | ||
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última version al 18:42 13 sep 2013
1 Enunciado
Sea ABCD un cuadrilátero arbitrario. Demuestre, usando el álgebra vectorial, que los puntos medios de sus cuatro lados constituyen los vértices de un paralelogramo.
2 Solución
Sea O el origen de coordenadas. En ese caso los vectores de posición de los vértices son 
, 
, 
y 
. Las posiciones de los puntos medios E, F, G y H se encuentran en
Para demostrar que estos cuatro puntos forman un paralelogramo, debemos probar que sus lados son paralelos dos a dos. El vector que une E y F es
El vector que une H y G se calcula de la misma forma
Resulta un vector idéntico al anterior y por tanto el vector ligado 
es paralelo al 
.
Operando del mismo modo se demuestra que 
y 
son también paralelos e iguales.
Por tanto, el cuadrilátero EFGH es un paralelogramo, esto es, una figura plana con lados paralelos dos a dos.
Nótese que no se hace ninguna restricción sobre el cuadrilátero ABCD. Ni siquiera se exige que sea una figura plana. Puede ser una estructura articulada tridimensional y aun así, los puntos medios yacen en el mismo plano y forman un paralelogramo.
