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Disipación de energía en un plano inclinado

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Rapidez)
Línea 69: Línea 69:
siendo <math>W_r</math> el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. Puesta que esta fuerza es constante y opuesta al movimiento, el trabajo es simplemente
siendo <math>W_r</math> el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. Puesta que esta fuerza es constante y opuesta al movimiento, el trabajo es simplemente
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<center><math>\Delta E = W_r=-F_rL = -\mu m g L \cos(\beta)</math></center>
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<center><math>\Delta E = W_r=-F_rL = -\mu m g L \cos(\beta)\,</math></center>
siendo L la longitud del plano. Por simple trigonometría
siendo L la longitud del plano. Por simple trigonometría
Línea 92: Línea 92:
<center><math>v_f = \sqrt{2gh\left(1-\frac{\mu}{\mathrm{tg}(\beta)}\right)} = 3.96\,frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
<center><math>v_f = \sqrt{2gh\left(1-\frac{\mu}{\mathrm{tg}(\beta)}\right)} = 3.96\,frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
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===Energía disipada===
===Energía disipada===

Revisión de 00:31 23 ene 2013

Contenido

1 Enunciado

Un bloque de 500 g se encuentra en lo alto de un plano inclinado de 120 cm de altura y una pendiente del 75%. En el extremo inferior del plano se encuentra un resorte que hace rebotar a la masa elásticamente (sale con la misma rapidez con la que llega). Se suelta la masa, dejándola deslizarse por el plano.

  1. Suponga que no hay rozamiento entre la masa y el plano. ¿Con qué rapidez llega al punto más bajo? ¿Hasta que altura vuelve a subir tras rebotar en el resorte?
  2. Suponga ahora un coeficiente de rozamiento (estático y dinámico) μ = 0.25
    1. ¿Cuál es la rapidez al llegar al punto más bajo del plano?
    2. ¿Cuánta energía se ha disipado en el descenso?
    3. ¿Hasta que altura vuelve a ascender tras el rebote? ¿Cuánta energía se disipa en el ascenso?
Archivo:disipacion-masa-plano.png

2 Caso sin rozamiento

En el caso de que no haya rozamiento, el bloque está sometido a dos fuerzas:

  • El peso
  • La reacción normal del plano.

La reacción normal no realiza trabajo, por ser ortogonal a la velocidad del bloque. La única fuerza que realiza trabajo es el peso, que se trata de una fuerza conservativa. Por tanto, en ausencia de rozamiento la energía mecánica se conserva. Lo que se pierde en energía cinética se gana en energía potencial

-\Delta U = \Delta K\,

o, pasando todo al primer miembro

\Delta E = \Delta K + \Delta U = 0\,

La expresión para la energía potencial es

U(z) = mgz\,

donde medimos z desde un cierto nivel de referencia, que puede ser el punto más bajo del plano. Nótese que aquí z es la distancia medida en la vertical, no a lo largo del plano. Nos queda entonces

\left(\frac{1}{2}mv_f^2-0\right)+(0-mgh) = 0 \qquad\rightarrow\qquad v_f = \sqrt{2gh}

Es la misma expresión que resulta si la partícula cae verticalmente. La velocidad con la que llega abajo es independiente de la inclinación del plano y de la longitud de éste.

Sustituyendo los datos numéricos

v_f = \sqrt{2\times 9.81\times 1.20}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 4.85\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

El valor de la energía mecánica en todo el proceso es

E = mgh = 0.5\times 9.81\times 1.20\,\mathrm{J} = 5.89\,\mathrm{J}

Después de impactar, el muelle se comprime, almacenando esta energía mecánica, en forma de energía potencial elástica (sería un sistema KERS elemental). Cuando la masa rebota en el muelle la energía se recupera como energía cinética de nuevo, pero ahora la velocidad va en sentido contrario y la masa asciende por el plano.

Puesto que la energía mecánica se conserva, toda esta energía vuelve a convertirse en energía potencial y la altura final vuelve a ser la de partida, 1.20\,m.

3 Caso con rozamiento

Cuando hay rozamiento, aparece una nueva fuerza que se opone al movimiento. Esta fuerza es tangente al plano y, por tratarse de un rozamiento dinámico cumple

|\vec{F}_r| = \mu|\vec{F}_n|

Puesto que la fuerza normal compensa la componente normal del peso, su valor (como se ve en otro problema es

\vec{F}_n = mg\cos(\beta)\vec{\jmath}

siendo β el ángulo de inclinación del plano. Esto nos da la fuerza de rozamiento

\vec{F}_r = -\mu m g\cos(\beta)\,\vec{\imath}

3.1 Rapidez

La acción combinada de esta fuerza y el peso producen un movimiento uniformemente acelerado. A partir de las ecuaciones de este movimiento puede hallarse la rapidez en el momento del impacto. No obstante, podemos hallarla también empleando métodos energéticos.

En presencia de rozamiento la energía mecánica no se conserva, ya que se va disipando por fricción. La ley para la energía se escribe entonces

\Delta E = W_r\,

siendo Wr el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. Puesta que esta fuerza es constante y opuesta al movimiento, el trabajo es simplemente

\Delta E = W_r=-F_rL = -\mu m g L \cos(\beta)\,

siendo L la longitud del plano. Por simple trigonometría

L = \frac{h}{\mathrm{sen}(\beta)}\qquad\Rightarrow\qquad \Delta E = -\frac{\mu m g h}{\mathrm{tg}(\beta)}

La cantidad de energía perdida en el proceso vale

\Delta E = -\frac{\mu}{\mathrm{tg}(\beta)}=1.96\,\mathrm{J}

con lo cual, cuando llega abajo, la masa tiene solamente

E_f = E_i-W_r = (5.89-1.96)\,\mathrm{J} = 3.92\,\mathrm{J}

La velocidad de impacto será por tanto menor.

Sustituyendo, como antes, las expresiones de la energía cinética y la potencial

\left(\frac{1}{2}mv_f^2-0\right)+(0-mgh) = -\frac{\mu m g h}{\mathrm{tg}(\beta)} \qquad\rightarrow\qquad \frac{1}{2}mv_f^2 = mgh\left(1-\frac{\mu}{\mathrm{tg}(\beta)}\right)

Despejamos la rapidez

v_f = \sqrt{2gh\left(1-\frac{\mu}{\mathrm{tg}(\beta)}\right)} = 3.96\,frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

3.2 Energía disipada

3.3 Altura máxima

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Disipaci%C3%B3n_de_energ%C3%ADa_en_un_plano_inclinado"

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