Fuerza entre dos hilos cargados

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 13:55 5 nov 2008

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Un cable formado por dos hilos paralelos produce un campo eléctrico similar al producido por dos líneas infinitas con densidad de carga $λ$ y $- λ$ , situadas a una distancia $D$ una de la otra.

Se trata de hallar la fuerza por unidad de longitud con que se atraen los dos hilos. Para ello, calcule:

El campo eléctrico en cualquier punto del espacio, creado por un segmento rectilíneo de longitud $L$ , sobre el cual existe una densidad de carga uniforme $λ$ .
A partir del resultado anterior, halle el campo en cualquier punto debido a una línea de carga uniforme infinitamente larga.
Halle la fuerza que uno de los hilos produce sobre un segmento de longitud $h$ del otro hilo.

2 Solución

2.1 Campo de un segmento cargado

Sin pérdida de generalidad, podemos colocar el eje $z$ sobre el segmento y el origen de coordenadas en su punto medio.

La expresión integral para el campo eléctrico debido a una distribución de carga lineal se expresa

$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int\lambda(\mathbf{r}')\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}l'$

En nuestro caso, la posición de las fuentes es

$x'=0\quad y'=0\quad z'=z'$ $z'\in\left[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}\right]$

$\mathrm{d}\mathbf{r}'=\mathrm{d}z'\,\mathbf{u}_{z}$ $\mathrm{d}l'=|\mathrm{d}\mathbf{r}'|=\mathrm{d}z'$

por lo que la integral se convierte en

$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{-L/2}^{L/2} \!\!\lambda \frac{(x\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+(z-z')\mathbf{u}_{z})} {\left(x^2+y^2+(z-z')^2\right)^{3/2}}\,\mathrm{d}z'$

Separando componente a componente

$E_x= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{-L/2}^{L/2}\!\!\lambda \frac{ x} {\left(x^2+y^2+(z-z')^2\right)^{3/2}}\,\mathrm{d}z'$ $E_y= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{-L/2}^{L/2}\!\!\lambda \frac{y} {\left(x^2+y^2+(z-z')^2\right)^{3/2}}\,\mathrm{d}z'$ $E_z= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{-L/2}^{L/2}\!\!\lambda \frac{ (z-z')} {\left(x^2+y^2+(z-z')^2\right)^{3/2}}\,\mathrm{d}z'$

Podemos llevar a cabo estas integrales mediante el cambio de variable $z'-z=\sqrt{x^2+y^2}\tan\alpha$ $\mathrm{d}z'=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\cos^2\alpha}\,\mathrm{d}\alpha$

Este ángulo posee interpretación geométrica ya que es el que forma la dirección al punto donde está la fuente con la horizontal.

Con este cambio las integrales quedan

$E_x= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\frac{\lambda x\cos\alpha} {x^2+y^2}\,\mathrm{d}\alpha=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\lambda x}{x^2+y^2}(\mathrm{sen}\,\alpha_2-\mathrm{sen}\,\alpha_1)$ $E_y= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\frac{\lambda y\cos\alpha} {x^2+y^2}\,\mathrm{d}\alpha=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\lambda y}{x^2+y^2}(\mathrm{sen}\,\alpha_2-\mathrm{sen}\,\alpha_1)$ $E_z= -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\frac{\lambda \mathrm{sen}\,\alpha} {\sqrt{x^2+y^2}}\,\mathrm{d}\alpha= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\lambda }{\sqrt{x^2+y^2}}(\cos\alpha_2-\cos\alpha_1)$

Los senos y cosenos que aparecen en las expresiones anteriores corresponden a los valores límite de $α$ y su relación con las coordenadas cartesianas es

$\mathrm{sen}\,\alpha_2=\frac{L/2-z}{\sqrt{x^2+y^2+(z-L/2)^2}}$ $\cos\alpha_2=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2+(z-L/2)^2}}$ $\mathrm{sen}\,\alpha_1=-\frac{L/2+z}{\sqrt{x^2+y^2+(z+L/2)^2}}$ $\cos\alpha_1=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2+(z+L/2)^2}}$

Agrupando los resultados tenemos la forma vectorial

$\mathbf{E}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon}\left(\frac{x\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}}{x^2+y^2} \left(\mathrm{sen}\,\alpha_2-\mathrm{sen}\,\alpha_1\right)+ \frac{\mathbf{u}_{z}(\cos\alpha_2-\cos\alpha_1)}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$

Si expresamos el campo en coordenadas cilíndricas centradas en el hilo nos queda

$\mathbf{E}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0\rho} \left(\left(\mathrm{sen}\,\alpha_2-\mathrm{sen}\,\alpha_1\right)\mathbf{u}_{\rho}+ \left(\cos\alpha_2-\cos\alpha_1\right)\mathbf{u}_{z}\right)$

que podemos leer como el campo posee una componente en la dirección radial perpendicular al eje del segmento y una componente paralela a él. Esta interpretación nos seguirá valiendo cuando el eje $z$ no esté situado sobre el segmento.

Para ello consideraremos un segmento

A B

y un punto de observación arbitrario

P

. Trazamos la recta perpendicular a

A B

por

P

. Esta recta cortará a la primera en un punto

C

. La variable

ρ

será la longitud del segmento

P C

. El ángulo

α 1

será el que forma esta perpendicular con el segmento

P A

y el

α 2

con el segmento

P B

. Ambos ángulos serán positivos si la perpendicular queda por detrás del segmento (considerando adelante aquél en que apunta $\mathbf{u}_z$ ) y negativos en caso contrario. Si la perpendicular incide sobre el segmento

A B

, el ángulo

α 2

será positivo y el

α 1

negativo.

Este cálculo se puede hacer también numéricamente, de la forma que se muestra en este applet del Curso de Electricidad y Magnetismo del M.I.T. El resultado se puede ver en este otro applet.

2.2 Campo de un hilo infinito

Si tenemos un hilo infinitamente largo (que, obviamente, no existe en la realidad, pero sirve para modelar el campo de hilo muy largo como el de un cable de alta tensión si estamos a corta distancia de él), podemos hallar el campo que produce tomando el límite de la expresión anterior. Sea cual sea el punto de observación, $\alpha_1\to -\pi/2$ , $\alpha_2\to \pi/2$ , por lo que

$\mathbf{E}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0\rho}\left((1-(-1))\mathbf{u}_{\rho}+(0-0)\mathbf{u}_{z}\right)= \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\rho}\mathbf{u}_{\rho}$

Este resultado puede también obtenerse por aplicación de la ley de Gauss.

Lo que nos dice este resultado es que el campo producido por un hilo infinito es radial desde hilo y decae con la distancia como $1 / ρ$ (esto es, doble distancia, mitad de campo).

Si expresamos este campo en coordenadas cartesianas nos queda

$\mathbf{E}= \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\,\frac{x\mathbf{u}_x+y \mathbf{u}_y}{x^2+y^2}$

Si tenemos un hilo no situado en el eje $Z$ pero paralelamente a él, habrá que realizar la tralación de la expresión anterior. Así, si el hilo se encuentra sobre la vertical que pasa por $x = x 0$ , $y = y 0$ , la expresión correspondiente para el campo es

$\mathbf{E}= \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\,\frac{(x-x_0)\mathbf{u}_x+(y-y_0) \mathbf{u}_y}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$

2.3 Fuerza entre los hilos

Para hallar la fuerza que uno de los hilos produce sobre otro situado paralelamente a él, a una distancia

D

, situamos los ejes de forma que el hilo que crea el campo (el de densidad de carga

+ λ

) coincide con el eje

Z

, mientras que el segundo (con densidad

- λ

) pasa por el punto

x = D

,

y = 0

. De esta forma el campo en todos y cada uno de los puntos del segundo hilo es $\mathbf{E}_1(x=D,y=0) = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\,\frac{D\mathbf{u}_x+0\mathbf{u}_y}{D^2+0^2} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0D}\mathbf{u}_x$

La fuerza sobre un elemento de carga del segundo hilo es

$\mathrm{d}\mathbf{F}_{21}=\mathrm{d}q_2\mathbf{E}_1 = -(\lambda\,\mathrm{d}z) \left(\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0D}\mathbf{u}_x\right) = -\frac{\lambda^2\mathbf{u}_x}{2\pi\varepsilon_0D}\mathrm{d}z$

Esta fuerza diferencial es independiente de la altura $z$ a la que se encuentre el elemento (lo cual es evidente dada la simetría traslacional del sistema. Por tanto, la fuerza sobre un segmento de longitud $h$ del segundo hilo es

$\mathbf{F}_21 = \int_0^h \mathrm{d}\mathbf{F}_{21} = -\frac{\lambda^2h\mathbf{u}_x}{2\pi\varepsilon_0D}$

Esta fuerza va en el sentido de $-\mathbf{u}_x$ , siendo $\mathbf{u}_x$ el vector que va del primer hilo perpendicularmente al segundo. Esto quiere decir que la fuerza es atractiva, como corresponde a dos hilos cargados con signos opuestos.

@@ Línea 118: / Línea 118: @@
 ===Fuerza entre los hilos===
-[[Imagen:doshiloscargados.png|270px|left]]Para hallar la fuerza que uno de los hilos produce sobre otro situado paralelamente a él, a una distancia <math>D</math>, situamos los ejes de forma que el hilo que crea el campo (el de densidad de carga <math>+\lambda</math>) coincide con el eje <math>Z</math>, mientras que el segundo (con densidad <math>-\lambda</math>) pasa por el punto <math>x=D</math>, <math>y = 0</math>. De esta forma el campo en todos y cada uno de los puntos del segundo hilo es
+[[Imagen:doshiloscargados.png|150px|left]]Para hallar la fuerza que uno de los hilos produce sobre otro situado paralelamente a él, a una distancia <math>D</math>, situamos los ejes de forma que el hilo que crea el campo (el de densidad de carga <math>+\lambda</math>) coincide con el eje <math>Z</math>, mientras que el segundo (con densidad <math>-\lambda</math>) pasa por el punto <math>x=D</math>, <math>y = 0</math>. De esta forma el campo en todos y cada uno de los puntos del segundo hilo es
 <center><math>\mathbf{E}_1(x=D,y=0) = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\,\frac{D\mathbf{u}_x+0\mathbf{u}_y}{D^2+0^2} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0D}\mathbf{u}_x</math></center>

Fuerza entre dos hilos cargados

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Campo de un segmento cargado

2.2 Campo de un hilo infinito

2.3 Fuerza entre los hilos

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