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Sistema electrostático de tres cargas puntuales

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
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Un sistema electrostático está formado por tres cargas eléctricas puntuales. Dos de ellas tienen idéntico valor <math>q=3\,\mathrm{nC}</math> y se hallan en los puntos <math>P_1</math> y <math>P_2</math>, dados por los vectores de posición <math>\mathbf{r}_1=+12\mathbf{u}_x\,\mathrm{(cm)}</math> y  <math>\mathbf{r}_2=-12\mathbf{u}_x\,\mathrm{(cm)}</math>, respectivamente. La tercera carga tiene un valor <math>Q</math> y se halla en el punto <math>P_3</math>, dado por <math>\mathbf{r}_3=-16\mathbf{u}_y\,\mathrm{(cm)}</math>.
Un sistema electrostático está formado por tres cargas eléctricas puntuales. Dos de ellas tienen idéntico valor <math>q=3\,\mathrm{nC}</math> y se hallan en los puntos <math>P_1</math> y <math>P_2</math>, dados por los vectores de posición <math>\mathbf{r}_1=+12\mathbf{u}_x\,\mathrm{(cm)}</math> y  <math>\mathbf{r}_2=-12\mathbf{u}_x\,\mathrm{(cm)}</math>, respectivamente. La tercera carga tiene un valor <math>Q</math> y se halla en el punto <math>P_3</math>, dado por <math>\mathbf{r}_3=-16\mathbf{u}_y\,\mathrm{(cm)}</math>.
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[[Archivo:P1_sept_11_12_ceit_0.gif|right]]# Determine, si es posible, el valor que debe tener la carga <math>Q</math> y la posición <math>\mathbf{r}_0=y_0\mathbf{u}_y</math> de un punto del eje <math>OY</math> en el cuál se anulen simultáneamente el potencial y el campo eléctrico creado por el sistema de tres cargas.
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# Determine, si es posible, el valor que debe tener la carga <math>Q</math> y la posición <math>\mathbf{r}_0=y_0\mathbf{u}_y</math> de un punto del eje <math>OY</math> en el cuál se anulen simultáneamente el potencial y el campo eléctrico creado por el sistema de tres cargas.
# ¿Cuál es la energía electrostática del sistema descrito en el caso particular <math>Q = −10 \,\mathrm{nC}</math>?
# ¿Cuál es la energía electrostática del sistema descrito en el caso particular <math>Q = −10 \,\mathrm{nC}</math>?
# En la situación particular del apartado anterior, ¿qué trabajo hay que realizar para traer una carga <math>q</math> desde el infinito hasta el punto de posición <math>\mathbf{r}_4=+9\mathbf{u}_y\,\mathrm{(cm)}</math>. ¿Cuánto vale la fuerza electrostática ejercida sobre dicha carga este punto?
# En la situación particular del apartado anterior, ¿qué trabajo hay que realizar para traer una carga <math>q</math> desde el infinito hasta el punto de posición <math>\mathbf{r}_4=+9\mathbf{u}_y\,\mathrm{(cm)}</math>. ¿Cuánto vale la fuerza electrostática ejercida sobre dicha carga este punto?

Revisión de 11:34 18 sep 2012

1 Enunciado

Un sistema electrostático está formado por tres cargas eléctricas puntuales. Dos de ellas tienen idéntico valor q=3\,\mathrm{nC} y se hallan en los puntos P1 y P2, dados por los vectores de posición \mathbf{r}_1=+12\mathbf{u}_x\,\mathrm{(cm)} y \mathbf{r}_2=-12\mathbf{u}_x\,\mathrm{(cm)}, respectivamente. La tercera carga tiene un valor Q y se halla en el punto P3, dado por \mathbf{r}_3=-16\mathbf{u}_y\,\mathrm{(cm)}.

  1. Determine, si es posible, el valor que debe tener la carga Q y la posición \mathbf{r}_0=y_0\mathbf{u}_y de un punto del eje OY en el cuál se anulen simultáneamente el potencial y el campo eléctrico creado por el sistema de tres cargas.
  2. ¿Cuál es la energía electrostática del sistema descrito en el caso particular Q = −10 \,\mathrm{nC}?
  3. En la situación particular del apartado anterior, ¿qué trabajo hay que realizar para traer una carga q desde el infinito hasta el punto de posición \mathbf{r}_4=+9\mathbf{u}_y\,\mathrm{(cm)}. ¿Cuánto vale la fuerza electrostática ejercida sobre dicha carga este punto?
  4. Determine los momentos monopolar y dipolar de la distribución correspondiente al apartado 2. Halle el potencial exacto y el aproximado por el desarrollo multipolar, para el punto \mathbf{r}_5=+36\mathbf{u}_x\,\mathrm{(cm)}. Calcule el error relativo cometido en la aproximación, según la fórmula
\epsilon=\left|\frac{V_\mathrm{aprox}-V_\mathrm{exac}}{V_\mathrm{exac}}\right|

2 Solución

2.1 Punto de campo eléctrico y potencial nulo

Sean tres cargas puntuales q1, q2 y q3, situadas en los puntos P1, P2 y P3, cuyas posiciones respecto de un punto fijo O (origen de un sistema de referencia), están determiandas por sendos vectores \mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2 y \mathbf{r}_3. El campo eléctrico y el potencial electrostático creado por el sistema en un punto P, descrito por el radiovector \mathbf{r}, responden a las siguientes expresiones:

\mathbf{E}(\mathbf{r})=k_e \ \sum_{i=1}^3\frac{q_i\!\ (\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}\mathrm{;}\,\qquad\phi(\mathbf{r})=k_e \ \sum_{i=1}^3\frac{q_i}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|}

donde el valor de la constante ke en el Sistema Internacional (SI) es,     \displaystyle k_e=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 9\times 10^9\;\frac{\mathrm{N}\,\mathrm{m}^2}{\mathrm{C}^2}.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Sistema_electrost%C3%A1tico_de_tres_cargas_puntuales"

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