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Sistema de cuatro condensadores

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Antes de la conexión)
Línea 41: Línea 41:
y las diferencias de potencial respectivas
y las diferencias de potencial respectivas
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<center><math>\Delta V_1 = V_A-V_D = 12\,\mathrm{V}\qquad\qquad \Delta V_2 = V_D-V_B = 4\,\mathrm{V}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\Delta V_3 = V_A-V_E = 3\,\mathrm{V}\qquad\qquad\Delta V_4 = V_E-V_B = 9\,\mathrm{V}</math></center>
+
<center><math>\Delta V_1 = V_A-V_D = 8\,\mathrm{V}\qquad\qquad \Delta V_2 = V_D-V_B = 4\,\mathrm{V}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\Delta V_3 = V_A-V_E = 3\,\mathrm{V}\qquad\qquad\Delta V_4 = V_E-V_B = 9\,\mathrm{V}</math></center>
La energía almacenada en el condensador la podemos hallar sumando la almacenada en cada uno de ellos
La energía almacenada en el condensador la podemos hallar sumando la almacenada en cada uno de ellos
Línea 50: Línea 50:
<center><math>C_\mathrm{eq}=C_{12}+C_{34}= 50\,\mathrm{nF}\qquad\Rightarrow\qquad U_e = \frac{1}{2}C_\mathrm{eq}(\Delta V)^2= \frac{1}{2}\times 50\times 12^2\,\mathrm{nJ}=3.6\,\mu\mathrm{J}</math></center>
<center><math>C_\mathrm{eq}=C_{12}+C_{34}= 50\,\mathrm{nF}\qquad\Rightarrow\qquad U_e = \frac{1}{2}C_\mathrm{eq}(\Delta V)^2= \frac{1}{2}\times 50\times 12^2\,\mathrm{nJ}=3.6\,\mu\mathrm{J}</math></center>
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==Después de la conexión==
==Después de la conexión==
Una vez que se cierra el interruptor, la topología del circuito cambia. Al conectarse los dos puntos D y E, se produce un flujo de carga desde el punto a mayor voltaje, el E, al de menor potencial, el E. Como resultado, se alteran las cargas en los cuatro condensadores.
Una vez que se cierra el interruptor, la topología del circuito cambia. Al conectarse los dos puntos D y E, se produce un flujo de carga desde el punto a mayor voltaje, el E, al de menor potencial, el E. Como resultado, se alteran las cargas en los cuatro condensadores.

Revisión de 18:51 14 may 2012

1 Enunciado

El circuito de la figura está formado por cuatro condensadores cuyas capacidades son: C_1=30\,\mathrm{nF}, C_2=60\,\mathrm{nF}, C_3=120\,\mathrm{nF} y C_4=40\,\mathrm{nF}. La diferencia de potencial entre A y B es de 12\,\mathrm{V}. ¿Qué diferencia de potencial mide un voltímetro situado entre los puntos D y E? Calcule la carga de cada condensador y la diferencia de potencial entre las placas de cada uno, así como la energía almacenada en el sistema.

Suponga que, sin desconectar la fuente, se cierra el interruptor entre los puntos D y E. Tras la conexión, ¿cuánto valen las cargas, los voltajes y la energía almacenada?

2 Antes de la conexión

Tenemos que, para cada uno de los condensadores de la rama superior se cumple

V_A-V_D = \frac{Q_1}{C_1}\qquad\qquad V_D-V_B = \frac{Q_2}{C_2}

pero, por estar el punto D desconectado de cualquier otra fuente o elemento, los dos condensadores C1 y C2 están en serie y la carga en ambos es la misma

Q_1 = Q_2\qquad\Rightarrow\qquad V_A-V_B = \left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)Q_1 = \frac{Q_1}{C_{12}}

siendo C12 la capacidad del condensador equivalente. Puesto que conocemos la diferencia de potencial total y la capacidad de cada condensador, podemos hallar la carga en cada uno

\frac{1}{C_{12}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\qquad\Rightarrow\qquad C_{12}=20\,\mathrm{nF}\qquad\Rightarrow\qquad Q_1 = Q_2 = C_{12}\,(V_A-V_B) = 240\,\mathrm{nC}

Una vez que tenemos la carga en cada uno, podemos hallar las respectivas diferencias de potencial

V_D = V_D-\overbrace{V_B}^{=0} = \frac{Q_2}{C_2}=\frac{C_{12}}{C_2}\Delta V = \frac{240\,\mathrm{nC}}{60\,\mathrm{nF}}=4\,\mathrm{V}

Operando del mismo modo hallamos la carga de los condensadores de la rama inferior

C_{34}=\left(\frac{1}{C_3}+\frac{1}{C_4}\right)^{-1}= 30\,\mathrm{nF}\qquad\Rightarrow\qquad Q_3 = Q_4 = 30\,\mathrm{nF}\times 12\,\mathrm{V} =360\,\mathrm{nC}

y el voltaje del punto E

V_E = \frac{Q_4}{C_4}=\frac{C_{34}}{C_4}(V_A-V_B) = 9\,\mathrm{V}

Por tanto la diferencia de potencial entre ambos puntos es

V_D - V_E = 4\,\mathrm{V}-9\,\mathrm{V}=-5\,\mathrm{V}

Las cargas de cada uno de los condensadores son, según se ha dicho

Q_1 = Q_2 = 240\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_3 = Q_4 = 360\,\mathrm{nC}

y las diferencias de potencial respectivas

\Delta V_1 = V_A-V_D = 8\,\mathrm{V}\qquad\qquad \Delta V_2 = V_D-V_B = 4\,\mathrm{V}        \Delta V_3 = V_A-V_E = 3\,\mathrm{V}\qquad\qquad\Delta V_4 = V_E-V_B = 9\,\mathrm{V}

La energía almacenada en el condensador la podemos hallar sumando la almacenada en cada uno de ellos

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_1(\Delta V_1)^2+\frac{1}{2}C_2(\Delta V_2)^2+\frac{1}{2}C_3(\Delta V_3)^2+\frac{1}{2}C_4(\Delta V_4)^2=3.6\,\mu\mathrm{J}

También podemos hallarla considerando que todo el sistema es equivalente a la asociación en paralelo de dos asociaciones en serie

C_\mathrm{eq}=C_{12}+C_{34}= 50\,\mathrm{nF}\qquad\Rightarrow\qquad U_e = \frac{1}{2}C_\mathrm{eq}(\Delta V)^2= \frac{1}{2}\times 50\times 12^2\,\mathrm{nJ}=3.6\,\mu\mathrm{J}

3 Después de la conexión

Una vez que se cierra el interruptor, la topología del circuito cambia. Al conectarse los dos puntos D y E, se produce un flujo de carga desde el punto a mayor voltaje, el E, al de menor potencial, el E. Como resultado, se alteran las cargas en los cuatro condensadores.

Ahora, en lugar de tener una asociación en paralelo de dos asociaciones en serie, tenemos una asociación en serie de dos asociaciones en paralelo (la del 1 con el 3 y la del 2 con el 4).

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Sistema_de_cuatro_condensadores"

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