Amortiguamiento viscoso

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 23:29 24 nov 2011

1 Enunciado

El rozamiento que experimenta una pequeña partícula en medio denso y viscoso como un aceite es de la forma $\vec{F}_r=-\gamma\vec{v}$ . Se construye un sensor de balística, en el que una bala de masa $m$ impacta horizontalmente en un bloque de silicona en el que se cumple la ley anterior. Si la bala recorre una distancia $x 0$ hasta pararse. ¿Con qué velocidad impactó en el bloque?

2 Solución

La bala, una vez que penetra en la silicona, se ve frenada. Inicialmente entra con una velocidad $\vec{v}_0$ , que suponemos horizontal, y la fuerza de rozamiento va reduciendo su rapidez, hasta que llega a detenerse por completo. Hasta que se para recorre una cierta distancia $Δ x$ . Se trata de calcular esta distancia y relacionarla con la velocidad inicial.

Lu ecuación de movimiento de la bala se reduce a

$m\vec{a}=-\gamma\vec{v}$

con las condiciones iniciales

$\vec{v}(t=0)=\vec{v}_0\qquad \vec{}(t=0)=\vec{0}$

Despreciando el efecto del peso, podemos suponer que el movimiento es horizontal en todo instante, lo cual nos permite emplear cantidades escalares

$\vec{r}=x\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}=v\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{a}=a\vec{\imath}$

lo cual nos deja con las ecuaciones escalares

$m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-\gamma v\qquad \qquad v(0)=v_0\qquad\qquad x(0) = 0$

La solución de esta ecuación diferencial es elemental, ya que podemos separarla en dos integrales

$\frac{\mathrm{d}v}{v}=- \frac{\gamma}{m}\,\mathrm{d}t\qquad\Rightarrow\qquad\int_{v_0}^v\frac{\mathrm{d}v}{v}=-\frac{\gamma}{m} \int_0^t\mathrm{d}t$

siendo el resultado

$\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) = -\frac{\gamma}{m} t\qquad\Rightarrow\qquad v = v_0\mathrm{e}^{-\gamma t/m}$

Vemos que la velocidad decae exponencialmente y (teóricamente), nunca llega a pararse. Ello no quiere decir que la distancia recorrida sea infinita. Integrando de nuevo tenemos

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v = v_0\mathrm{e}^{-\gamma t/m}\qquad\Rightarrow\qquad x = \int_0^t v_0\mathrm{e}^{-\gamma t/m}\mathrm{d}t=\frac{mv_0}{\gamma}\left(1-\mathrm{e}^{-\gamma t/m}\right)$

Esta integral se va acercando asintóticamente a un valor constante.

Cuando $t\to\infty$ la velocidad de la bala se anula y la distancia total que recorre es

$\Delta x = x(\infty) -x(0)= \frac{m v_0}{\gamma}(1-0)=\frac{m v_0}{\gamma}$

y, por tanto, si lo que medimos es la distancia total recorrida, hallamos la velocidad de entrada despejando

$v_0 = \frac{\gamma\,\Delta x}{m}$

@@ Línea 23: / Línea 23: @@
 La solución de esta ecuación diferencial es elemental, ya que podemos separarla en dos integrales
-<center><math>\frac{\mathrm{d}v}{v}=-\gamma\,\mathrm{d}t\qquad\Rightarrow\qquad\int_{v_0}^v\frac{\mathrm{d}v}{v}=-\gamma \int_0^t\mathrm{d}t</math></center>
+<center><math>\frac{\mathrm{d}v}{v}=- \frac{\gamma}{m}\,\mathrm{d}t\qquad\Rightarrow\qquad\int_{v_0}^v\frac{\mathrm{d}v}{v}=-\frac{\gamma}{m} \int_0^t\mathrm{d}t</math></center>
 siendo el resultado
-<center><math>\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) = -\gamma t\qquad\rightarrow\qquad v = v_0\mathrm{e}^{-\gamma t}</math></center>
+<center><math>\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) = -\frac{\gamma}{m} t\qquad\Rightarrow\qquad v = v_0\mathrm{e}^{-\gamma t/m}</math></center>
+Vemos que la velocidad decae exponencialmente y (teóricamente), nunca llega a pararse. Ello no quiere decir que la distancia recorrida sea infinita. Integrando de nuevo tenemos
+<center><math>\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v =  v_0\mathrm{e}^{-\gamma t/m}\qquad\Rightarrow\qquad x = \int_0^t  v_0\mathrm{e}^{-\gamma t/m}\mathrm{d}t=\frac{mv_0}{\gamma}\left(1-\mathrm{e}^{-\gamma t/m}\right)</math></center>
+Esta integral se va acercando asintóticamente a un valor constante.
+Cuando <math>t\to\infty</math> la velocidad de la bala se anula y la distancia total que recorre es
+<center><math>\Delta x = x(\infty) -x(0)= \frac{m v_0}{\gamma}(1-0)=\frac{m v_0}{\gamma}</math></center>
+y, por tanto, si lo que medimos es la distancia total recorrida, hallamos la velocidad de entrada despejando
+<center><math>v_0 = \frac{\gamma\,\Delta x}{m}</math></center>
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