Doble máquina de Atwood

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 01:17 24 nov 2011

1 Enunciado

La doble máquina de Atwood de la figura está formada por tres masas unidas a través de dos cuerdas ideales (inextensibles y sin masa) y dos poleas también ideales (de masa despreciable y sin rozamiento). Determine la aceleración de cada una de las masas, así como las tensiones de las dos cuerdas.

2 Solución

Considerando los diagramas de cuerpo libre, tenemos lo siguiente:

Sobre la masa $m 1$ actúa la tensión de la cuerda y su peso, por lo que

$\vec{T}_1 + m_1\vec{g} = m_1\vec{a}_1$

dado que todas las fuerzas y aceleraciones en este problema son verticales, podemos usar cantidades escalares y escribir

$T_1-m_1g = m_1a_1\,$

Para la masa 2 tenemos, de manera análoga

$T_2 - m_2g = m_2a_2\,$

y para la 3

$T_3 - m_3g = m_3a_3\,$

Por el hecho de tratarse de cuerdas ideales, inextensibles y sin masa, la tensión en la cuerda que ata las masas 2 y 3 es la misma en todos sus puntos, por lo que

$T_2 = T_3\,$

Ahora bien, ¿cómo se relacionan estas dos tensiones con $T 1$ , la tensión de la otra cuerda. Para obtenerlo escribimos la ecuación de movimiento para esta polea, para la que suponemos provisionalmente una masa $m 0$ . Sobre esta polea actúan tres tensiones además del peso, siendo una de ellas igual a la que actúa sobre la masa 1.

$T_1 - T_2-T_3 - m_0g = m_0a_0\,$

Al ser una polea ideal, su masa es nula, por lo que nos queda la relación de equilibrio

$T_1 = T_2 + T_3 = 2T_2\,$

Las cuerdas son inextensibles, lo que permite relacionar las aceleraciones. En este caso no es cierto que la aceleración con la que sube $m 2$ sea la misma que con la que baja $m 3$ ya que ambas penden de un punto que también se mueve aceleradamente.

Si la polea superior se encuentra a una altura H respecto al suelo, las masas se encuentran a alturas $z 1$ , $z 2$ y $z 3$ respectivamente, y la polea pequeña a una altura z_0, la longitud de la cuerda que la une con la masa 1 es

$L_1 = (H-z_1) + (H-z_0)+\pi R_1\,$

Derivando esta ecuación dos veces respecto al tiempo

$0=-\frac{\mathrm{d}^2z_1}{\mathrm{d}t^2}-\frac{\mathrm{d}^2z_0}{\mathrm{d}t^2}\qquad\Rightarrow\qquad a_0 = -a_1$

Por su parte la longitud de la cuerda que pasa por la polea pequeña vale

$L_2 = (z_0-z_2)+(z_0-z_3)+\pi R\,$

que tras derivar nos da

$2a_0 = a_2+a_3\,$

Ya tenemos información suficiente para hallar las aceleraciones. Tenemos el sistema

$\begin{array}{rcl} T_1-m_1g & = & m_1a_1\\ T_2-m_2g & = & m_2a_2\\ T_3-m_3g & = & m_3a_3\\ T_1 & = & T_2+T_3\\ T_2 & = & T_3\\ 2a_1 & = & -a_2-a_3 \end{array}$

Despejando y sustituyendo llegamos a los resultados

$a_1=\frac{4m_2m_3-m_1m_2-m_1m_3)}{4m_2m_3+m_1m_2+m_1m_3)}g$ $a_2=\frac{3m_1m_3-m_1m_2-4m_2m_3)}{4m_2m_3+m_1m_2+m_1m_3)}g$ $a_3=\frac{3m_1m_2-m_1m_3-4m_2m_3)}{4m_2m_3+m_1m_2+m_1m_3)}g$

@@ Línea 65: / Línea 65: @@
 Despejando y sustituyendo llegamos a los resultados
+<center>
+<math>a_1=\frac{4m_2m_3-m_1m_2-m_1m_3)}{4m_2m_3+m_1m_2+m_1m_3)}g</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>a_2=\frac{3m_1m_3-m_1m_2-4m_2m_3)}{4m_2m_3+m_1m_2+m_1m_3)}g</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>a_3=\frac{3m_1m_2-m_1m_3-4m_2m_3)}{4m_2m_3+m_1m_2+m_1m_3)}g</math></center>
-<center><math>2a_1+a_2+a_3=0\,</math></center>
 [[Categoría:Problemas de dinámica de la partícula (GIE)]]

Doble máquina de Atwood

De Laplace

Revisión de 01:17 24 nov 2011

1 Enunciado

2 Solución

Herramientas:

Buscar

Vistas

Herramientas

Herramientas personales

Navegación

SEARCH

TOOLBOX

LANGUAGES