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Esfera conductora con dos huecos esféricos

De Laplace

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[[Imagen:tresesferas.png|left]]En una esfera metálica de radio <math>R</math> se han hecho dos cavidades, también esféricas, de radio <math>R/2</math>. Concéntricas con cada una de estos huecos se hallan sendas esferas metálicas de radio <math>R/4</math>. No hay más conductores en el sistema. Suponga que la esfera exterior se encuentra aislada y descargada; una de las esferas interiores se encuentra aun potencial <math>V_0</math> y la otra se encuentra a tierra. ¿Cuál es la carga en cada conductor? ¿Y el potencial?
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En una esfera metálica de radio <math>R</math> se han hecho dos cavidades, también esféricas, de radio <math>R/2</math>. Concéntricas con cada una de estos huecos se hallan sendas esferas metálicas de radio <math>R/4</math>. No hay más conductores en el sistema. Suponga que la esfera exterior se encuentra aislada y descargada; una de las esferas interiores se encuentra aun potencial <math>V_0</math> y la otra se encuentra a tierra. ¿Cuál es la carga en cada conductor? ¿Y el potencial?
Halle la energía almacenada en el sistema.
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El problema se reduce a la determinación de los coeficientes de capacidad del sistema. Conocidos éstos, con los datos del problema pueden determinarse las cargas y potenciales restantes.  
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La forma más sencilla de determinar la relación <math>Q</math>&mdash;<math>V</math> es a través del circuito equivalente. Tenemos tres conductores: la esfera exterior (que denominaremos &ldquo;2&rdquo;), la esfera a potencial <math>V_0</math> (&ldquo;1&rdquo;) y la que está a tierra (&ldquo;3&rdquo;).
La forma más sencilla de determinar la relación <math>Q</math>&mdash;<math>V</math> es a través del circuito equivalente. Tenemos tres conductores: la esfera exterior (que denominaremos &ldquo;2&rdquo;), la esfera a potencial <math>V_0</math> (&ldquo;1&rdquo;) y la que está a tierra (&ldquo;3&rdquo;).
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[[Imagen:circuitotresesferas.png|left]]En el circuito, cada conductor representa a un nodo. En principio, entre cada par de conductores se encuentra un condensador <math>\overline{C}_{ik}</math>, más los que conectan a cada uno con el infinito, <math>\overline{C}_{ii}</math>. Sin embargo, el conductor 2 apantalla al 1 y al 3, tanto entre sí como con el infinito (no puede haber líneas de campo que vayan del 1 al 3 o al exterior), por tanto,
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En el circuito, cada conductor representa a un nodo. En principio, entre cada par de conductores se encuentra un condensador <math>\overline{C}_{ik}</math>, más los que conectan a cada uno con el infinito, <math>\overline{C}_{ii}</math>. Sin embargo, el conductor 2 apantalla al 1 y al 3, tanto entre sí como con el infinito (no puede haber líneas de campo que vayan del 1 al 3 o al exterior), por tanto,
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En nuestro problema, los datos son  
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Como alternativa, aprovechando el circuito equivalente al máximo, podemos emplearlo para determinar las cargas en los distintos conductores observando que, por estar los condensadores <math>\overline{C}_{22}</math> y <math>\overline{C}_{23}</math> conectados al conductor 2 y a tierra se encuentran en paralelo, formando un solo condensador de capacidad
Como alternativa, aprovechando el circuito equivalente al máximo, podemos emplearlo para determinar las cargas en los distintos conductores observando que, por estar los condensadores <math>\overline{C}_{22}</math> y <math>\overline{C}_{23}</math> conectados al conductor 2 y a tierra se encuentran en paralelo, formando un solo condensador de capacidad
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resultando los valores ya conocidos.
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Para hallar la energía, el camino más fácil es de nuevo el circuito equivalente. Ya conocidos las cargas y potenciales, la energía se
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calcula como
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V_0^2+\frac{1}{16}\pi\varepsilon_0 R V_0^2=\frac{3}{4}\pi\varepsilon_0 RV_0^2</math></center>
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[[Categoría:Problemas de electrostática en presencia de conductores]]
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[[Categoría:Problemas de campo eléctrico en presencia de conductores]]
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última version al 19:36 27 jun 2011

Contenido

1 Enunciado

En una esfera metálica de radio R se han hecho dos cavidades, también esféricas, de radio R / 2. Concéntricas con cada una de estos huecos se hallan sendas esferas metálicas de radio R / 4. No hay más conductores en el sistema. Suponga que la esfera exterior se encuentra aislada y descargada; una de las esferas interiores se encuentra aun potencial V0 y la otra se encuentra a tierra. ¿Cuál es la carga en cada conductor? ¿Y el potencial?

Halle la energía almacenada en el sistema.

Imagen:tresesferas.png

2 Coeficientes de capacidad

El problema se reduce a la determinación de los coeficientes de capacidad del sistema. Conocidos éstos, con los datos del problema pueden determinarse las cargas y potenciales restantes.

La forma más sencilla de determinar la relación Q—V es a través del circuito equivalente. Tenemos tres conductores: la esfera exterior (que denominaremos “2”), la esfera a potencial V0 (“1”) y la que está a tierra (“3”).

En el circuito, cada conductor representa a un nodo. En principio, entre cada par de conductores se encuentra un condensador \overline{C}_{ik}, más los que conectan a cada uno con el infinito, \overline{C}_{ii}. Sin embargo, el conductor 2 apantalla al 1 y al 3, tanto entre sí como con el infinito (no puede haber líneas de campo que vayan del 1 al 3 o al exterior), por tanto,

\overline{C}_{11}=\overline{C}_{33}=\overline{C}_{13}=0

A su vez, el conductor 1 forma con el conductor 2 un condensador esférico, de radio interior R / 4 y exterior R / 2. Lo mismo ocurre entre el 3 y el 2. Aplicando la fórmula para la capacidad de un condensador esférico C=4\pi\varepsilon_0 a b/(b-a), resulta

\overline{C}_{12}=\overline{C}_{23}=\frac{4\pi\varepsilon_0(R/2)(R/4)}{R/2-R/4}=2\pi\varepsilon_0 R

Podemos demostrar este resultado. Para calcular el coeficiente C21 debemos suponer el conductor 1 (una de las esferas interiores) a potencial unidad y el resto a tierra. En este caso, no hay campo eléctrico ni en el exterior del conductor 2, ni en el hueco entre el 2 y el 3, por estar todas las superficies a tierra.

En el hueco entre el conductor 1 y el 2 debemos resolver la ecuación de Laplace

\nabla^2\phi=0

con las condiciones de contorno

\phi=1\qquad \left(r_1=\frac{R}{4}\right)        \phi=0\qquad \left(r_1=\frac{R}{2}\right)

siendo r1 la distancia medida desde el centro de la esfera interior.

Al existir simetría de revolución dentro del hueco, la solución de la ecuación de Laplace es

\phi = M + \frac{N}{r_1}

Imponiendo las condiciones de contorno

1=M+ \frac{N}{R/4}        0 = M + \frac{N}{R/2}

queda el potencial

\phi=\frac{R}{2r_1}-1

La carga en la esfera interior, que por definición es el coeficiente C11 la hallamos a partir del flujo a través de una superficie que la envuelva.

C_{11} = \varepsilon_0 \oint_{S_1}\mathbf{E}_1{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}_1 = \varepsilon_0\oint\left(\frac{R}{2r_1^2}\mathbf{u}_{r_1}\right){\cdot}\left(r_1^2\,\mathrm{d}\Omega\mathbf{u}_{r_1}\right)= 2\pi\varepsilon_0 R

siendo dΩ el diferencial de ángulo sólido. Esto nos da el coeficiente C_{11}=2\pi\varepsilon_0 R. Como este conductor 1 se encuentra en influencia total con el 2, C_{12}=-C_{11}=-2\pi\varepsilon_0 R. La capacidad equivalente entre los dos nodos será \overline{C}_{12}=-C_{12}=2\pi\varepsilon_0 R.

Por último queda por determinar la capacidad \overline{C}_{22}. Ésta corresponde a las líneas que van del conductor 2 al infinito. El problema exterior es equivalente al de una sola esfera, cuya capacidad (calculable a partir de la de un condensador esférico haciendo b\to\infty) vale

\overline{C}_{22}=4\pi\varepsilon_0 R

Con esto queda completada la relación entre cargas y capacidades. En general

Q_1=2\pi\varepsilon_0 R(V_1-V_2)    Q_2=4\pi\varepsilon_0 RV_2+2\pi\varepsilon_0 R((V_2-V_1)+(V_2-V_3))=2\pi\varepsilon_0 R(-V_1+4V_2-V_3)        Q_3=2\pi\varepsilon_0 R(V_3-V_2)

En forma matricial

\begin{pmatrix}Q_1 \\ Q_2 \\ Q_3\end{pmatrix} = 2\pi\varepsilon_0R\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2 \\ V_3\end{pmatrix}

3 Cargas y voltajes

En nuestro problema, los datos son

V_1=V_0\,        Q_2=0\,        V_3=0\,


0=2\pi\varepsilon_0 R(4V_2-V_0)   \Rightarrow   V_2=\frac{V_0}{4}        Q_1=2\pi\varepsilon_0 R\left(V_0-\frac{V_0}{4}\right)=\frac{3\pi\varepsilon_0 R }{2}V_0        Q_3=2\pi\varepsilon_0 R\left(0-\frac{V_0}{4}\right)=-\frac{\pi\varepsilon_0 R }{2}V_0

y ya están determinadas todas las incógnitas del problema.


4 Cálculo empleando el circuito equivalente

Como alternativa, aprovechando el circuito equivalente al máximo, podemos emplearlo para determinar las cargas en los distintos conductores observando que, por estar los condensadores \overline{C}_{22} y \overline{C}_{23} conectados al conductor 2 y a tierra se encuentran en paralelo, formando un solo condensador de capacidad

C=2\pi\varepsilon_0 R+4\pi\varepsilon_0 R=6\pi\varepsilon_0 R

Este condensador se encuentra en serie con el \overline{C}_{12}. La asociación tiene una capacidad

C_\mathrm{eq}=\frac{\overline{C}_{12}C}{C+\overline{C}_{12}}=\frac{3}{2}\pi\varepsilon_0 R

Como la asociación está sometida a una tensión V0, la carga en la placa positiva (el conductor 1) vale

Q_1=C_\mathrm{eq}V_0=\frac{3\pi\varepsilon_0 R}{2}V_0

A partir de aquí podemos calcular la tensión en el conductor 2, restando la caída de tensión en el condensador \overline{C}_{12}

V_2=V_0-\frac{Q_1}{\overline{C}_{12}}=V_0-\frac{3}{4}V_0=\frac{V_0}{4}

La carga del conductor 3 la calculamos aplicando que equivale a la de la placa negativa del condensador \overline{C}_{23}, sometido a una tensión V0 / 4

Q_3=-\overline{C}_{23}\frac{V_0}{4}=-\frac{\pi\varepsilon_0 R}{2}V_0

resultando los valores ya conocidos.

5 Energía almacenada

Para hallar la energía, el camino más fácil es de nuevo el circuito equivalente. Ya conocidos las cargas y potenciales, la energía se calcula como

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{Q_2}{V_2}+\frac{1}{2}Q_3V_3= \frac{1}{2}Q_1V_1=\frac{3\pi\varepsilon_0 R}{4}V_0^2

Obsérvese que los conductores 2 y 3 no contribuyen por anularse su carga o su potencial.

Esta energía puede también calcularse a partir de la suma de energías almacenadas en diferentes condensadores

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\overline{C}_{22}V_2^2+\frac{1}{2}\overline{C}_{12}(V_1-V_2)^2+ \frac{1}{2}\overline{C}_{23}(V_2-V_3)^2=

\frac{4\pi\varepsilon_0 R}{2}\left(\frac{V_0}{4}\right)^2+\frac{2\pi\varepsilon_0 R}{2}\left(\frac{V_0}{4}-V_0\right)^2+ \frac{2\pi\varepsilon_0 R}{2}\left(\frac{V_0}{4}-0\right)^2=

\frac{1}{8}\pi\varepsilon_0 R V_0^2+\frac{9}{16}\pi\varepsilon_0 R V_0^2+\frac{1}{16}\pi\varepsilon_0 R V_0^2=\frac{3}{4}\pi\varepsilon_0 RV_0^2
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Esfera_conductora_con_dos_huecos_esf%C3%A9ricos"

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