Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Recipiente lleno hasta la mitad de dieléctrico

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Enunciado)
m (→Después de la rotación)
 
(7 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
==Enunciado==
==Enunciado==
-
[[Imagen:recipientev.gif|left]]Se construye un recipiente cilíndrico, con bases perfectamente conductoras de sección <math>S</math>, separadas una distancia <math>a</math>, y paredes perfectamente dieléctricas, de espesor despreciable. El interior se llena hasta la mitad con un líquido dieléctrico y permitividad <math>\varepsilon</math>. El resto se deja vacío.
+
[[Imagen:recipientev.gif|left]][[Imagen:recipienteh.gif|right]]Se construye un recipiente cilíndrico, con bases perfectamente conductoras de sección <math>S</math>, separadas una distancia <math>a</math>, y paredes perfectamente dieléctricas, de espesor despreciable. El interior se llena hasta la mitad con un líquido dieléctrico y permitividad <math>\varepsilon</math>. El resto se deja vacío.
-
 
+
El recipiente se coloca en un principio con las bases dispuestas horizontalmente. En esta posición, se carga hasta que la diferencia de potencial entre las placas es <math>V_0</math>. Acto seguido se abre el circuito y, sin descargar las placas, el recipiente es girado <math>90^\circ</math> alrededor de un eje horizontal. ¿Cuál es la nueva diferencia de potencial entre las placas? ¿Cómo varía la energía almacenada?
-
[[Imagen:recipienteh.gif|right]]El recipiente se coloca en un principio con las bases dispuestas horizontalmente. En esta posición, se carga hasta que la diferencia de potencial entre las placas es <math>V_0</math>. Acto seguido se abre el circuito y, sin descargar las placas, el recipiente es girado <math>90^\circ</math> alrededor de un eje horizontal. ¿Cuál es la nueva diferencia de potencial entre las placas? ¿Cómo varía la energía almacenada?
+
Desprecie los efectos de borde y la influencia de las paredes.
Desprecie los efectos de borde y la influencia de las paredes.
==Solución==
==Solución==
 +
Para resolver este problema se puede hacer uso de las soluciones de
 +
los problemas de [[Condensador con dos capas de dieléctrico|dos dieléctricos en capas]] y de [[Condensador con dos y con cuatro bloques de dieléctrico|dos dieléctricos adyacentes]].
 +
 +
===Antes de la rotación===
 +
[[Image:Circuito2cserie.gif|left]]En el primer estado, al ser las bases horizontales, el líquido se coloca formando una capa que llena hasta la mitad el recipiente. El problema es entonces análogo al de un condensador de placas planas y paralelas formado por dos capas de dieléctrico. En este caso, la permitividad de una es <math>\varepsilon</math>, mientras que la otra es <math>\varepsilon_0</math> (por estar vacía).
 +
 +
La capacidad en esta configuración es equivalente a la de una asociación en serie de dos condensadores de capacidades
 +
 +
<center><math>C_1=\frac{\varepsilon{}S}{a/2}</math>{{qquad}}{{qquad}} <math>C_2=\frac{\varepsilon_0 S}{a/2}</math></center>
 +
 +
por ser <math>a/2</math> el espesor de cada capa. La capacidad equivalente se
 +
obtiene de
 +
 +
<center><math>\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}=\frac{a}{2\varepsilon{}S}+
 +
\frac{a}{2\varepsilon_0 S}=\frac{a(\varepsilon_0+\varepsilon{})}{2\varepsilon_0\varepsilon{}S}</math>{{tose}}
 +
<math>C=\frac{2\varepsilon_0\varepsilon{}S}{a(\varepsilon{}+\varepsilon_0)}</math></center>
 +
 +
Al establecer una diferencia de potencial <math>V_0</math> entre las placas se almacena una carga en el condensador
 +
 +
<center><math>Q=\frac{2\varepsilon{}\varepsilon_0 SV_0}{a(\varepsilon{}+\varepsilon_0)}</math></center>
 +
 +
===Después de la rotación===
 +
[[Imagen:Circuito2cparalelo.gif|right]]Cuando se gira el recipiente, el líquido sigue llenado hasta la mitad su interior, pero ahora su superficie es ortogonal a las bases. Tenemos entonces
 +
un condensador formado por una asociación en paralelo de otros dos, siendo la capacidad de cada uno
 +
 +
<center><math>C'_1=\frac{\varepsilon{} (S/2)}{a}</math>{{qquad}}<math>C'_2=\frac{\varepsilon_0 (S/2)}{a}</math></center>
 +
 +
siendo ahora <math>S/2</math> la sección de cada condensador y <math>a</math> su espesor. La capacidad total es
 +
 +
<center><math>C'=C'_1+C'_2=\frac{(\varepsilon{}+\varepsilon_0)S}{2a}</math></center>
 +
 +
Al efectuar la rotación, esta se hace con las placas cargadas, siendo el valor de la carga acumulada el obtenido en la configuración anterior.
 +
 +
Esta nueva capacidad es mayor que la anterior, ya que
 +
 +
<center><math>\frac{C}{C'}= \frac{4\varepsilon_0\varepsilon{}}{(\varepsilon_0+\varepsilon{})^2} =
 +
=\frac{(\varepsilon_0+\varepsilon{})^2-(\varepsilon{}-\varepsilon_0)^2}{(\varepsilon_0+\varepsilon{})^2}=
 +
1-\left(\frac{\varepsilon{}-\varepsilon_0}{\varepsilon{}+\varepsilon_0}\right)^2
 +
</math></center>
 +
 +
y el segundo término es siempre positivo, por lo que <math>C/C'<1</math>.
 +
 +
En este caso, la nueva diferencia de potencial entre las placas es
 +
 +
<center><math>V'=\frac{Q}{C'}=\frac{CV_0}{C'}=\frac{4\varepsilon_0\varepsilon{}}{(\varepsilon_0+\varepsilon{})^2}V_0</math></center>
 +
 +
Esta nueva diferencia de potencial es siempre inferior a la original.
 +
 +
Este resultado implica que al rotar el recipiente se pierde energía. La energía inicial vale
 +
 +
<center><math>U_{\mathrm{e}i} = \frac{1}{2}C V_0^2</math></center>
 +
 +
y la final
 +
 +
<center><math>U_{\mathrm{e}f} = \frac{1}{2}C' V'^2 = \frac{1}{2}C'\left(\frac{CV_0}{C'}\right)^2 = \frac{C^2}{2C'}V_0^2</math></center>
 +
 +
La variación de la energía en el proceso es
 +
 +
<center><math>\Delta U_\mathrm{e} = \frac{C}{2}\left(\frac{C}{C'}-1\right)V_0^2 = -\left(\frac{\varepsilon{}-\varepsilon_0}{\varepsilon{}+\varepsilon_0}\right)^2\frac{C}{2}V_0^2</math></center>
 +
 +
La energía perdida puede haberse disipado en forma de calor y haberse absorbido por el agente mecánico que efectúa la rotación del sistema.
 +
[[Categoría:Problemas de materiales dieléctricos]]
[[Categoría:Problemas de materiales dieléctricos]]

última version al 19:38 25 jun 2008

Contenido

1 Enunciado

Se construye un recipiente cilíndrico, con bases perfectamente conductoras de sección S, separadas una distancia a, y paredes perfectamente dieléctricas, de espesor despreciable. El interior se llena hasta la mitad con un líquido dieléctrico y permitividad \varepsilon. El resto se deja vacío.

El recipiente se coloca en un principio con las bases dispuestas horizontalmente. En esta posición, se carga hasta que la diferencia de potencial entre las placas es V0. Acto seguido se abre el circuito y, sin descargar las placas, el recipiente es girado 90^\circ alrededor de un eje horizontal. ¿Cuál es la nueva diferencia de potencial entre las placas? ¿Cómo varía la energía almacenada?

Desprecie los efectos de borde y la influencia de las paredes.

2 Solución

Para resolver este problema se puede hacer uso de las soluciones de los problemas de dos dieléctricos en capas y de dos dieléctricos adyacentes.

2.1 Antes de la rotación

En el primer estado, al ser las bases horizontales, el líquido se coloca formando una capa que llena hasta la mitad el recipiente. El problema es entonces análogo al de un condensador de placas planas y paralelas formado por dos capas de dieléctrico. En este caso, la permitividad de una es \varepsilon, mientras que la otra es \varepsilon_0 (por estar vacía).

La capacidad en esta configuración es equivalente a la de una asociación en serie de dos condensadores de capacidades

C_1=\frac{\varepsilon{}S}{a/2}         C_2=\frac{\varepsilon_0 S}{a/2}

por ser a / 2 el espesor de cada capa. La capacidad equivalente se obtiene de

\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}=\frac{a}{2\varepsilon{}S}+ \frac{a}{2\varepsilon_0 S}=\frac{a(\varepsilon_0+\varepsilon{})}{2\varepsilon_0\varepsilon{}S}   \Rightarrow    C=\frac{2\varepsilon_0\varepsilon{}S}{a(\varepsilon{}+\varepsilon_0)}

Al establecer una diferencia de potencial V0 entre las placas se almacena una carga en el condensador

Q=\frac{2\varepsilon{}\varepsilon_0 SV_0}{a(\varepsilon{}+\varepsilon_0)}

2.2 Después de la rotación

Cuando se gira el recipiente, el líquido sigue llenado hasta la mitad su interior, pero ahora su superficie es ortogonal a las bases. Tenemos entonces

un condensador formado por una asociación en paralelo de otros dos, siendo la capacidad de cada uno

C'_1=\frac{\varepsilon{} (S/2)}{a}    C'_2=\frac{\varepsilon_0 (S/2)}{a}

siendo ahora S / 2 la sección de cada condensador y a su espesor. La capacidad total es

C'=C'_1+C'_2=\frac{(\varepsilon{}+\varepsilon_0)S}{2a}

Al efectuar la rotación, esta se hace con las placas cargadas, siendo el valor de la carga acumulada el obtenido en la configuración anterior.

Esta nueva capacidad es mayor que la anterior, ya que

\frac{C}{C'}= \frac{4\varepsilon_0\varepsilon{}}{(\varepsilon_0+\varepsilon{})^2} = =\frac{(\varepsilon_0+\varepsilon{})^2-(\varepsilon{}-\varepsilon_0)^2}{(\varepsilon_0+\varepsilon{})^2}= 1-\left(\frac{\varepsilon{}-\varepsilon_0}{\varepsilon{}+\varepsilon_0}\right)^2

y el segundo término es siempre positivo, por lo que C / C' < 1.

En este caso, la nueva diferencia de potencial entre las placas es

V'=\frac{Q}{C'}=\frac{CV_0}{C'}=\frac{4\varepsilon_0\varepsilon{}}{(\varepsilon_0+\varepsilon{})^2}V_0

Esta nueva diferencia de potencial es siempre inferior a la original.

Este resultado implica que al rotar el recipiente se pierde energía. La energía inicial vale

U_{\mathrm{e}i} = \frac{1}{2}C V_0^2

y la final

U_{\mathrm{e}f} = \frac{1}{2}C' V'^2 = \frac{1}{2}C'\left(\frac{CV_0}{C'}\right)^2 = \frac{C^2}{2C'}V_0^2

La variación de la energía en el proceso es

\Delta U_\mathrm{e} = \frac{C}{2}\left(\frac{C}{C'}-1\right)V_0^2 = -\left(\frac{\varepsilon{}-\varepsilon_0}{\varepsilon{}+\varepsilon_0}\right)^2\frac{C}{2}V_0^2

La energía perdida puede haberse disipado en forma de calor y haberse absorbido por el agente mecánico que efectúa la rotación del sistema.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Recipiente_lleno_hasta_la_mitad_de_diel%C3%A9ctrico"

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
 Esta página fue modificada por última vez el 19:38, 25 jun 2008. - Esta página ha sido visitada 9.308 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace