Resistor con dos capas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 20:15 10 jun 2011

Contenido

1 Enunciado
2 Densidades de corriente y campos
3 Intensidad de corriente
4 Carga libre
- 4.1 Densidades
- 4.2 Cargas
5 Potencia y energía
6 Solución mediante el circuito equivalente

1 Enunciado

Se tiene un dispositivo formado por dos placas metálicas perfectamente conductoras, de sección cuadrada de lado $L=10\,\mathrm{cm}$ situadas paralelamente a 4\,mm de distancia

Entre las placas se encuentran dos capas de dieléctricos no ideales de espesor $a_1=3\,\mathrm{mm}$ y $a_2=1\,\mathrm{mm}$ , respectivamente, de permitividades $\varepsilon_1 = 10\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ y $\varepsilon_2=30\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ y conductividades $\sigma_1=6\,\mathrm{mS}/\mathrm{m}$ y $\sigma_2=2\,\mathrm{mS}/\mathrm{m}$ . Se aplica un voltaje constante entre las placas $V_0 = 12\,\mathrm{V}$ .

Determine el valor de la densidad de corriente, el campo eléctrico y el vector desplazamiento en todos los puntos entre las placas.
Halle la intensidad de corriente que atraviesa el dispositivo.
Calcule las densidades de carga libre en todos los medios y superficies del sistema, así como la carga libre total acumulada en cada uno de los medios y superficies.
Halle la potencia disipada y la energía almacenada en el sistema.

2 Densidades de corriente y campos

Este sistema es uno de corrientes estacionarias, al estar las placas sometidas a una diferencia de potencial constante. Por ello, lo que va a determinar la distribución de los campos son las conductividades de los medios. El sistema equivale a dos resistencias puestas en serie para el cálculo de la densidad de corriente y el campo eléctrico.

En principio tenemos, para cada medio, las ecuaciones

$\nabla\cdot\mathbf{J}_i = -\frac{\partial\rho}{\partial t} = 0\qquad\nabla\times\mathbf{E}_i = \mathbf{0}\qquad \mathbf{J}_i=\sigma\mathbf{E}_i$

Dado que la anchura de las placas es mucho mayor que la distancia entre ellas y que la interfaz es también paralela a las placas podemos suponer que los campos van en la dirección perpendicular a las placas, que tomaremos como eje Z

$\mathbf{E}_i = E_i\mathbf{u}_z\qquad\mathbf{J}_i = J_i\mathbf{u}_z$

Al sustituir esto en las ecuaciones diferenciales anteriores el resultado es, como en otros problemas, que las distribuciones de campo son uniformes en cada uno de los medios (aunque pueden tener un valor diferente en cada uno de ellos).

Queda hallar el valor de las constantes $E 1$ y $E 2$ . Para ello tenemos, en primer lugar, que la diferencia de potencial entre placas es $V 0$

$V_0 = \int_0^{a_1+a_2}E\,\mathrm{d}z = \int_0^{a_1}E\,\mathrm{d}z + \int_{a_2}^{a_1+a_2}E\,\mathrm{d}z = E_1a_1+E_2a_2$

En segundo lugar tenemos que en el estado estacionario no cambia la carga acumulada en la interfaz aentre los medios

$\mathbf{n}\cdot[\mathbf{J}] = -\frac{\partial\sigma_s}{\partial t} = 0\qquad\Rightarrow\qquad J_1 = J_2=J_0$

esto es, la densidad de corriente es la misma en las dos regiones. Hallamos el valor de J_0 sustituyendo en la ecuación anterior

$E_1 = \frac{J_0}{\sigma_1}\qquad E_2 = \frac{J_0}{\sigma_2}\qquad a_1\frac{J_0}{\sigma_1}+a_2\frac{J_0}{\sigma_2}=V_0$

Despejando

$J_0=\frac{V_0}{a_1/\sigma_1+a_2/\sigma_2}= \frac{\sigma_1\sigma_2V_0}{a_1\sigma_2+a_2\sigma_1}$

Por tanto, la densidad de corriente en los dos medios es, sustituyendo los valores numéricos,

$\mathbf{J}_1 = \mathbf{J}_2 = \frac{\sigma_1\sigma_2V_0}{a_1\sigma_2+a_2\sigma_1}\mathbf{u}_z = 12\,\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}^2}\,\mathbf{u}_z$

El campo eléctrico en la capa inferior vale

$\mathbf{E}_1 = \frac{\mathbf{J}_0}{\sigma_1} = \frac{\sigma_2V_0}{a_1\sigma_2+a_2\sigma_1}\mathbf{u}_z = 2\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}\mathbf{u}_z$

y en la superior

$\mathbf{E}_2 = \frac{\mathbf{J}_0}{\sigma_2} = \frac{\sigma_1V_0}{a_1\sigma_2+a_2\sigma_1}\mathbf{u}_z = 6\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}\mathbf{u}_z$

De aquí obtenemos que la diferencia de potencial entre la interfaz y la placa de tierra es

$\Delta V = V(a_1) - 0 = E_2a_2 = 6\,\mathrm{V}$

Una vez que tenemos el campo eléctrico, el vector desplazamiento es inmediato. En el medio inferior

$\mathbf{D}_1 = \varepsilon_1\mathbf{E}_1 = \frac{\varepsilon_1\sigma_2V_0}{a_1\sigma_2+a_2\sigma_1}\mathbf{u}_z= 20\,\frac{\mathrm{nC}}{\mathrm{m}^2}\,\mathbf{u}_z$

y en el superior

$\mathbf{D}_2 = \varepsilon_2\mathbf{E}_2 = \frac{\varepsilon_2\sigma_1V_0}{a_1\sigma_2+a_2\sigma_1}\mathbf{u}_z= 180\,\frac{\mathrm{nC}}{\mathrm{m}^2}\,\mathbf{u}_z$

3 Intensidad de corriente

Puesto que estamos en el estado estacionario, la corriente que llega por el cable es la misma que atraviesa los materiales, e igual al flujo de la densidad de corriente a través de una sección transversal del medio óhmico (cualquiera de los dos, pues la densidad de corriente es la misma en ambos)

$I = \int_S \mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_0^L \int_0^L (J_0\mathbf{u}_z)\cdot(\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathbf{u}_z) = J_0L^2$

Sustituyendo el valor de la densidad de corriente

$I = \frac{\sigma_1\sigma_2L^2V_0}{a_1\sigma_2+a_2\sigma_1} = 12\times 10^{-4}\,\mathrm{A}=1.2\,\mathrm{mA}$

4 Carga libre

4.1 Densidades

En principio, tenemos tanto densidades volumétricas como superficiales de carga libre

$\rho_l = \nabla\cdot\mathbf{D}$ $\sigma_l = \mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}]$

Sin embargo, dado que el desplzamiento es uniforme en el interior de cada media, la densidad volumétrica de carga libre es nula

$\rho_l = \nabla\cdot\mathbf{D}=0$

Para la superficial, tenemos tres superficies: la de la placa inferior, la interfaz central y la superficie de la placa superior.

En la placa inferior: En la placa conductora, el campo eléctrico (y por tanto el desplazamiento) es nulo, así que

$\sigma_l = \mathbf{u}_z\cdot(D_1\mathbf{u}_z - \mathbf{0}) = \frac{\varepsilon_1\sigma_2V_0}{a_1\sigma_2+a_2\sigma_1}= 20\,\frac{\mathrm{nC}}{\mathrm{m}^2}\qquad (z=0)$

En la interfaz: en este caso, el desplazamiento es no nulo a un lado ya otro

$\sigma_l = \mathbf{u}_z\cdot(D_2\mathbf{u}_z - D_1\mathbf{u}_z) = \frac{(\varepsilon_2\sigma_1-\varepsilon_1\sigma_2)V_0}{a_1\sigma_2+a_2\sigma_1}= 160\,\frac{\mathrm{nC}}{\mathrm{m}^2}\qquad (z=a_1)$

En la placa superior: De nuevo, es nulo el campo en la placa conductora

$\sigma_l = \mathbf{u}_z\cdot(\mathbf{0}-D_2\mathbf{u}_z) = -\frac{\varepsilon_2\sigma_1V_0}{a_1\sigma_2+a_2\sigma_1}= -180\,\frac{\mathrm{nC}}{\mathrm{m}^2}\qquad (z=a_1+a_2)$

4.2 Cargas

Una vez que tenemos las densidades de carga, es inmediato obtener la carga en cada superficie, por ser uniformes las densidades.

En la placa inferior: Integrando la densidad de carga superficial

$Q_l = \int\! \sigma_l\,\mathrm{d}S = \frac{\varepsilon_1\sigma_2V_0L^2}{a_1\sigma_2+a_2\sigma_1}= 2\,\mathrm{pC}\qquad (z=0)$

Esta carga puede también hallarse mediante el flujo del vector desplazamiento a través de una superficie cerrada que envuelva a la placa inferior.
En la interfaz: Operando igualmente

$Q_l = \int\! \sigma_l\,\mathrm{d}S = \frac{(\varepsilon_2\sigma_1-\varepsilon_1\sigma_2)V_0L^2}{a_1\sigma_2+a_2\sigma_1}= 16\,\mathrm{pC}\qquad (z=a_1)$

En la placa superior

$Q_l = \int\! \sigma_l\,\mathrm{d}S = \frac{-\varepsilon_2\sigma_1V_0L^2}{a_1\sigma_2+a_2\sigma_1}= -18\,\mathrm{pC}\qquad (z=a_1+a_2)$

En el volumen no existe carga alguna, por ser nula la densidad de carga.

Podemos comprobar que el sistema es eléctricamente neutro

$Q_T = +2\,\mathrm{pC}+16\,\mathrm{pC}-18\,\mathrm{pC} = 0\,\mathrm{pC}$

5 Potencia y energía

6 Solución mediante el circuito equivalente

@@ Línea 103: / Línea 103: @@
 ;En la placa inferior: Integrando la densidad de carga superficial
-<center><math>Q_l = \int \sigma_l\,\mathrm{d}S =  \frac{\varepsilon_1\sigma_2V_0L^2}{a_1\sigma_2+a_2\sigma_1}= 2\,\mathrm{pC}\qquad (z=0)</math></center>
+<center><math>Q_l = \int\! \sigma_l\,\mathrm{d}S =  \frac{\varepsilon_1\sigma_2V_0L^2}{a_1\sigma_2+a_2\sigma_1}= 2\,\mathrm{pC}\qquad (z=0)</math></center>
 :Esta carga puede también hallarse mediante el flujo del vector desplazamiento a través de una superficie cerrada que envuelva a la placa inferior.
 ;En la interfaz: Operando igualmente
-<center><math>Q_l = \int \sigma_l\,\mathrm{d}S =  \frac{(\varepsilon_2\sigma_1-\varepsilon_1\sigma_2)V_0L^2}{a_1\sigma_2+a_2\sigma_1}= 16\,\mathrm{pC}\qquad (z=a_1)</math></center>
+<center><math>Q_l = \int\! \sigma_l\,\mathrm{d}S =  \frac{(\varepsilon_2\sigma_1-\varepsilon_1\sigma_2)V_0L^2}{a_1\sigma_2+a_2\sigma_1}= 16\,\mathrm{pC}\qquad (z=a_1)</math></center>
 ;En la placa superior:
-<center><math>Q_l = \int \sigma_l\,\mathrm{d}S =  \frac{-\varepsilon_2\sigma_1V_0L^2}{a_1\sigma_2+a_2\sigma_1}= -18\,\mathrm{pC}\qquad (z=a_1)</math></center>
+<center><math>Q_l = \int\! \sigma_l\,\mathrm{d}S =  \frac{-\varepsilon_2\sigma_1V_0L^2}{a_1\sigma_2+a_2\sigma_1}= -18\,\mathrm{pC}\qquad (z=a_1+a_2)</math></center>
 En el volumen no existe carga alguna, por ser nula la densidad de carga.

Resistor con dos capas

De Laplace

Revisión de 20:15 10 jun 2011

Contenido

1 Enunciado

2 Densidades de corriente y campos

3 Intensidad de corriente

4 Carga libre

4.1 Densidades

4.2 Cargas

5 Potencia y energía

6 Solución mediante el circuito equivalente

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