Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Campo de un cable bimetalico

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Campo magnético)
(→Campo magnético)
 
(7 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 5: Línea 5:
<center>[[Image:cableconnucleo.gif]]</center>
<center>[[Image:cableconnucleo.gif]]</center>
 +
Datos:
 +
 +
{| class="bordeado"
 +
|-
 +
! Material
 +
! Conductividad (10<sup>7</sup> S/m)
 +
! Susceptibilidad (10<sup>&minus;5</sup>)
 +
|-
 +
! Aluminio
 +
| 3.55
 +
| +2.2
 +
|-
 +
! Cobre
 +
| 5.96
 +
| &minus;1.0
 +
|}
 +
==Densidad de corriente==
==Densidad de corriente==
La corriente <math>I</math> se distribuye por todo el cable, pero no uniformemente, debido a la diferente conductividad de los dos materiales.
La corriente <math>I</math> se distribuye por todo el cable, pero no uniformemente, debido a la diferente conductividad de los dos materiales.
Línea 32: Línea 49:
Los valores numéricos de estas tres cantidades  son
Los valores numéricos de estas tres cantidades  son
-
<center><math>E=7.1\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}\qquad J_1=
+
<center><math>E=72\,\frac{\mathrm{mV}}{\mathrm{m}}\qquad J_1= 2.7\,\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{m}^2}\qquad J_1=
-
2.7\,\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{m}^2}\qquad J_1=
+
4.3\,\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{m}^2}
-
4.2\,\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{m}^2}
+
</math></center>
</math></center>
Línea 65: Línea 81:
{2\pi(\sigma_1 a^2+\sigma_2(b^2-a^2))}\qquad (\rho< a)</math></center>
{2\pi(\sigma_1 a^2+\sigma_2(b^2-a^2))}\qquad (\rho< a)</math></center>
-
El campo magnético \mathbf{B} lo obtenemos multiplicando por la permeabilidad del aluminio
+
El campo magnético <math>\mathbf{B}</math> lo obtenemos multiplicando por la permeabilidad del aluminio
<center><math>\mathbf{B}=\mu_1\mathbf{H} = \frac{\mu_1 J_1\rho}{2}\mathbf{u}_{\varphi}= \frac{\mu_1 I \sigma_1\rho \mathbf{u}_{\varphi}}
<center><math>\mathbf{B}=\mu_1\mathbf{H} = \frac{\mu_1 J_1\rho}{2}\mathbf{u}_{\varphi}= \frac{\mu_1 I \sigma_1\rho \mathbf{u}_{\varphi}}
Línea 101: Línea 117:
Resulta un campo magnético que varía de forma continua, siendo nulo justo en el centro del cable, creciendo linealmente desde ahí hasta la
Resulta un campo magnético que varía de forma continua, siendo nulo justo en el centro del cable, creciendo linealmente desde ahí hasta la
-
interfaz aluminio/cobre, en la que alcanza el valor de <math>B_1=3.4\,\mathrm{mT}</math>. A partir de ahí sigue creciendo como combinación de una función lineal y de una que va como <math>1/\rho</math>. El valor máximo lo alcanza en la superficie exterior del cable, donde vale
+
interfaz aluminio/cobre, en la que alcanza el valor de <math>B_1=3.3\,\mathrm{mT}</math>. A partir de ahí sigue creciendo como combinación de una función lineal y de una que va como <math>1/\rho</math>. El valor máximo lo alcanza en la superficie exterior del cable, donde vale
<center><math>B(\rho=b) = \frac{\mu_0I}{2\pi b}= 6.7\,\mathrm{mT}</math></center>
<center><math>B(\rho=b) = \frac{\mu_0I}{2\pi b}= 6.7\,\mathrm{mT}</math></center>
Línea 107: Línea 123:
En el exterior del cable, el campo disminuye con la inversa de la distancia, de forma equivalente a que toda la corriente estuviera concentrada en el eje del cable.
En el exterior del cable, el campo disminuye con la inversa de la distancia, de forma equivalente a que toda la corriente estuviera concentrada en el eje del cable.
 +
<center>[[Archivo:B-bimetalico.png|450px]]</center>
[[Categoría:Problemas de materiales magnéticos]]
[[Categoría:Problemas de materiales magnéticos]]
 +
 +
Hay que destacar que en este problema es prácticamente indiferente considerar el aluminio y al cobre como equivalentes al vacío, desde el punto de vista de su permeabilidad, ya que aunque uno es diamagnético y el otro paramagnético, la corrección que ello supone se encuentra en la quinta cifra significativa.

última version al 16:07 9 jun 2011

1 Enunciado

Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de aluminio revestido de cobre. Está formado por un núcleo de aluminio de radio a (suponga a = 2mm), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior b (sea b= 3\,\mathrm{mm}).

Halle el campo magnético producido por el cable, tanto en su interior como su exterior, cuando por él circula una corriente I=100\,\mathrm{A}. ¿Cuál es el valor máximo del campo magnético? ¿Dónde se alcanza?

Image:cableconnucleo.gif

Datos:

Material Conductividad (107 S/m) Susceptibilidad (10−5)
Aluminio 3.55 +2.2
Cobre 5.96 −1.0

2 Densidad de corriente

La corriente I se distribuye por todo el cable, pero no uniformemente, debido a la diferente conductividad de los dos materiales.

Al ser la interfaz paralela a las líneas de corriente y de campo, la continuidad en la componente tangencial de \mathbf{E} implica que el campo eléctrico tiene el mismo valor en el aluminio y en el cobre.

\mathbf{E}_1=\mathbf{E}_2=E\mathbf{u}_{z}

La densidad de corriente, en cambio, será mayor en el de mayor conductividad, el cobre

\mathbf{J}_1=\sigma_1E\mathbf{u}_{z}\qquad \mathbf{J}_2=\sigma_2E\mathbf{u}_{z}

El valor de E lo obtenemos de la corriente total, que es suma de la que circula por el cobre y por el aluminio

I = \int\mathbf{J}{\cdot}d\mathbf{S} = (\sigma_1 E)\pi a^2 + (\sigma_2 E)\pi(b^2-a^2) \quad\Rightarrow\quad E=\frac{I}{\pi(\sigma_1 a^2+\sigma_2(b^2-a^2))}

y de aquí obtenemos la densidad de corriente que fluye por cada material

J_1=\frac{\sigma_1 I}{\pi(\sigma_1 a^2+\sigma_2(b^2-a^2))}\qquad J_2=\frac{\sigma_2 I}{\pi(\sigma_1 a^2+\sigma_2(b^2-a^2))}

Los valores numéricos de estas tres cantidades son

E=72\,\frac{\mathrm{mV}}{\mathrm{m}}\qquad J_1= 2.7\,\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{m}^2}\qquad J_1= 4.3\,\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{m}^2}

Resulta que por el núcleo de cobre circula el 34% de la corriente mientras que por el recubrimiento de cobre va el 66% restante.

3 Campo magnético

El valor del campo magnético lo obtenemos aplicando la ley de Ampère. Dado que tenemos medios materiales, emplearemos la versión correspondiente al campo \mathbf{H}

\oint_\Gamma \mathbf{H}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = I = \int_S\mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}

donde I es la corriente libre que traviesa una superficie S apoyada en la curva Γ

Por la simetría del sistema, el campo magnético debe ir en la dirección de \mathbf{u}_{\varphi} y depender exclusivamente de la distancia al eje del cable

\mathbf{H} = H(\rho)\mathbf{u}_{\varphi}

La circulación de este campo a lo largo de una circunferencia concéntrica con el eje es

\oint \mathbf{H}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} = 2\pi\rho H

De acuerdo con la ley de Ampère, esta circulación debe ser igual la corriente que atraviesa una superficie apoyada en la curva. Tenemos tres casos, dependiendo de ρ: que estemos en el núcleo de aluminio, en la corteza de cobre o en el exterior del cable.

En el núcleo de aluminio, la corriente que atraviesa este círculo es la integral de \mathbf{J}_1 sobre éste

2\pi\rho H = \int\mathbf{J}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\rho J_1\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi = \pi \rho^2 J_1

resultando el campo magnético \mathbf{H}

\mathbf{H} = \frac{J_1\rho}{2}\mathbf{u}_{\varphi}= \frac{I \sigma_1\rho \mathbf{u}_{\varphi}} {2\pi(\sigma_1 a^2+\sigma_2(b^2-a^2))}\qquad (\rho< a)

El campo magnético \mathbf{B} lo obtenemos multiplicando por la permeabilidad del aluminio

\mathbf{B}=\mu_1\mathbf{H} = \frac{\mu_1 J_1\rho}{2}\mathbf{u}_{\varphi}= \frac{\mu_1 I \sigma_1\rho \mathbf{u}_{\varphi}} {2\pi(\sigma_1 a^2+\sigma_2(b^2-a^2))}\qquad (\rho< a)

En el recubrimiento de cobre, la corriente que atraviesa el círculo incluye tanto la del aluminio como una parte de la que va por la propia corteza

2\pi\rho H = \int\mathbf{J}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} = \mu_0\left( \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^a J_1\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi + \int_0^{2\pi}\!\!\int_a^\rho J_2\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\right) =\pi\left(J_1 a^2+J_2(\rho^2-a^2)\right)

de donde

\mathbf{H} = \frac{(J_1 a^2 + J_2(\rho^2-a^2))}{2\rho}\mathbf{u}_{\varphi}= \frac{I (\sigma_1 a^2 + \sigma_2(\rho^2-a^2))\mathbf{u}_{\varphi}}{2\pi\rho(\sigma_1 a^2+\sigma_2(b^2-a^2))}\qquad (a<\rho<b)

Multiplicando ahora por la permeabilidad del cobre

\mathbf{B} = \frac{\mu_2(J_1 a^2 + J_2(\rho^2-a^2))}{2\rho}\mathbf{u}_{\varphi}= \frac{\mu_2 I (\sigma_1 a^2 + \sigma_2(\rho^2-a^2))\mathbf{u}_{\varphi}}{2\pi\rho(\sigma_1 a^2+\sigma_2(b^2-a^2))}\qquad (a<\rho<b)

Por último, en el exterior, la corriente abarcada es la totalidad

2\pi\rho H = I \quad\Rightarrow\qquad \mathbf{H} = \frac{I\mathbf{u}_{\varphi}}{2\pi\rho}\qquad (\rho>b)

siendo ahora la permeabilidad la del vacío

\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I\mathbf{u}_{\varphi}}{2\pi\rho}\qquad (\rho>b)

Resulta un campo magnético que varía de forma continua, siendo nulo justo en el centro del cable, creciendo linealmente desde ahí hasta la interfaz aluminio/cobre, en la que alcanza el valor de B_1=3.3\,\mathrm{mT}. A partir de ahí sigue creciendo como combinación de una función lineal y de una que va como 1 / ρ. El valor máximo lo alcanza en la superficie exterior del cable, donde vale

B(\rho=b) = \frac{\mu_0I}{2\pi b}= 6.7\,\mathrm{mT}

En el exterior del cable, el campo disminuye con la inversa de la distancia, de forma equivalente a que toda la corriente estuviera concentrada en el eje del cable.

Hay que destacar que en este problema es prácticamente indiferente considerar el aluminio y al cobre como equivalentes al vacío, desde el punto de vista de su permeabilidad, ya que aunque uno es diamagnético y el otro paramagnético, la corrección que ello supone se encuentra en la quinta cifra significativa.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Campo_de_un_cable_bimetalico"

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
 Esta página fue modificada por última vez el 16:07, 9 jun 2011. - Esta página ha sido visitada 5.264 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace