Refracción de un campo eléctrico

De Laplace

Revisión de 20:15 3 mar 2011 (ver código fuente) Antonio (Discusión | contribuciones) ← Edición más antigua		última version al 21:16 3 mar 2011 (ver código fuente) Antonio (Discusión | contribuciones)
(7 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 7:		Línea 7:
	# El salto en la componente tangencial de <math>\mathbf{D}</math>.		# El salto en la componente tangencial de <math>\mathbf{D}</math>.
-	==Introducción==	+	==Permitividad y campo==
-	==Permitividad relativa==	+	Este problema se reduce a aplicar las condiciones de salto en la interfaz entre el dieléctrico y el vacío
-	==Módulo del campo==	+
		+	<center><math>\mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}]=\sigma_l =0</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{n}\times[\mathbf{E}]=\mathbf{0}</math></center>
		+
		+	donde la densidad de carga libre es nula por tratarse de un dieléctrico ideal del que no se nos dice que esté cargado.
		+
		+	Si separamos cada campo en una componente normal a la superficie y una tangencial a ella, queda, por lado
		+
		+	<center><math>D_{1n}=D_{2n}\,</math></center>
		+
		+	siendo 1 el dieléctrico y 2 el vacío. En términos del campo eléctrico, esta condición es
		+
		+	<center><math>\varepsilon E_{1n}=\varepsilon_0E_{2n}</math></center>
		+
		+	La condición de continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico se expresa
		+
		+	<center><math>E_{1t}=E_{1t}\,</math></center>
		+
		+	A su vez, para el dieléctrico tenemos, de acuerdo con la figura
		+
		+	<center><math>E_{1t} = -|\mathbf{E}_1|\,\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}|\mathbf{E}_1|</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>E_{1n} = -|\mathbf{E}_1|\,\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}|\mathbf{E}_1|</math></center>
		+
		+	y para el vacío
		+
		+	<center><math>E_{2t} = -|\mathbf{E}_2|\,\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}|\mathbf{E}_2|</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>E_{2n} = -|\mathbf{E}_2|\,\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}|\mathbf{E}_2|</math></center>
		+
		+	Llevando esto a las dos condiciones de salto queda, para la componente normal
		+
		+	<center><math>-\frac{1}{2}\varepsilon|\mathbf{E}_1|= -\frac{\sqrt{3}}{2}\varepsilon_0|\mathbf{E}_2|</math></center>
		+
		+	y para la tangencial
		+
		+	<center><math>-\frac{\sqrt{3}}{2}|\mathbf{E}_1|= -\frac{1}{2}|\mathbf{E}_2|</math></center>
		+
		+	===Permitividad relativa===
		+	Dividiendo una igualdad por la otra obtenemos
		+
		+	<center><math>\frac{\varepsilon}{\sqrt{3}}= \varepsilon_0\sqrt{3}</math></center>
		+
		+	lo que nos da la permitividad relativa
		+
		+	<center><math>\varepsilon_r = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}=3</math></center>
		+
		+	===Módulo del campo===
		+
		+	El módulo del campo podemos hallar de la continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico
		+
		+	<center><math>|\mathbf{E}_1| = \frac{1}{\sqrt{3}}|\mathbf{E}_2| = 58\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}</math></center>
		+
		+	Alternativamente, puede hallarse la permitividad una vez conocido el módulo del campo, a partir de la continuidad de la componente normal del desplazamiento.
		+
	==Carga de polarización==		==Carga de polarización==
		+	La polarización en un medio lineal verifica
		+
		+	<center><math>\mathbf{P}=\mathbf{D}-\varepsilon_0\mathbf{E}</math></center>
		+
		+	y la carga de polarización en la interfaz es
		+
		+	<center><math>\sigma_p = -\mathbf{n}\cdot[\mathbf{P}] = -\overbrace{\mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}]}^{=0}+\varepsilon_0\mathbf{n}\cdot[\mathbf{E}]=\varepsilon_0(E_{2n}-E_{1n})</math></center>
		+
		+	En términos de los módulos
		+
		+	<center><math>\sigma_p = \varepsilon_0\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}|\mathbf{E}_2|+\frac{1}{2}|\mathbf{E}_1|\right)</math></center>
		+
		+	Sustituyendo los valores numéricos
		+
		+	<center><math>\sigma_p = -511\,\frac{\mathrm{pC}}{\mathrm{m}^2}</math></center>
		+
	==Salto en el desplazamiento==		==Salto en el desplazamiento==
		+	Del mismo modo que el campo eléctrico es continuo en su componente tangencial, pero discontinuo en la normal (debido a la densidad de carga de polarización), el vector desplazamiento es continuo en su componente normal, pero discontinuo en la tangencial (debido de nuevo a la polarización).
		+
		+	<center><math>[D_t]=D_{2t}-D_{1t} = \varepsilon_0E_{2t}-\varepsilon E_{1t}=-\frac{1}{2}(\varepsilon_0-\varepsilon)|\mathbf{E}_2|</math></center>
		+
		+	Sustituyendo los valores numéricos
		+
		+	<center><math>[D_t]= 885\,\frac{\mathrm{pC}}{\mathrm{m}^2}</math></center>
		+
	[[Categoría:Problemas de materiales dieléctricos]]		[[Categoría:Problemas de materiales dieléctricos]]

---

última version al 21:16 3 mar 2011

Contenido 1 Enunciado 2 Permitividad y campo 2.1 Permitividad relativa 2.2 Módulo del campo 3 Carga de polarización 4 Salto en el desplazamiento

1 Enunciado

El campo eléctrico en el exterior de un dieléctrico tiene por módulo 100 V/m y forma un ángulo π / 6 con la normal a la superficie. El campo en el interior del medio forma un ángulo π / 3 con la normal. Halle:

1. La permitividad relativa del medio.
2. El módulo del campo en el interior del material.
3. La densidad de carga de polarización en la frontera.
4. El salto en la componente tangencial de .

2 Permitividad y campo

Este problema se reduce a aplicar las condiciones de salto en la interfaz entre el dieléctrico y el vacío

        

donde la densidad de carga libre es nula por tratarse de un dieléctrico ideal del que no se nos dice que esté cargado.

Si separamos cada campo en una componente normal a la superficie y una tangencial a ella, queda, por lado

siendo 1 el dieléctrico y 2 el vacío. En términos del campo eléctrico, esta condición es

La condición de continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico se expresa

A su vez, para el dieléctrico tenemos, de acuerdo con la figura

        

y para el vacío

        

Llevando esto a las dos condiciones de salto queda, para la componente normal

y para la tangencial

2.1 Permitividad relativa

Dividiendo una igualdad por la otra obtenemos

lo que nos da la permitividad relativa

2.2 Módulo del campo

El módulo del campo podemos hallar de la continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico

Alternativamente, puede hallarse la permitividad una vez conocido el módulo del campo, a partir de la continuidad de la componente normal del desplazamiento.

3 Carga de polarización

La polarización en un medio lineal verifica

y la carga de polarización en la interfaz es

En términos de los módulos

Sustituyendo los valores numéricos

4 Salto en el desplazamiento

Del mismo modo que el campo eléctrico es continuo en su componente tangencial, pero discontinuo en la normal (debido a la densidad de carga de polarización), el vector desplazamiento es continuo en su componente normal, pero discontinuo en la tangencial (debido de nuevo a la polarización).

Sustituyendo los valores numéricos