Refracción de un campo eléctrico
De Laplace
Contenido |
1 Enunciado
- La permitividad relativa del medio.
- El módulo del campo en el interior del material.
- La densidad de carga de polarización en la frontera.
- El salto en la componente tangencial de
.
2 Permitividad y campo
Este problema se reduce a aplicar las condiciones de salto en la interfaz entre el dieléctrico y el vacío
![\mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}]=\sigma_l =0](/wiki/images/math/d/c/d/dcdfc992390471d96423f4d6eda8844c.png)
![\mathbf{n}\times[\mathbf{E}]=\mathbf{0}](/wiki/images/math/6/d/9/6d9a6f945a9f8273282ed8720257a0ba.png)
donde la densidad de carga libre es nula por tratarse de un dieléctrico ideal del que no se nos dice que esté cargado.
Si separamos cada campo en una componente normal a la superficie y una tangencial a ella, queda, por lado
siendo 1 el dieléctrico y 2 el vacío. En términos del campo eléctrico, esta condición es
La condición de continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico se expresa
A su vez, para el dieléctrico tenemos, de acuerdo con la figura
y para el vacío
Llevando esto a las dos condiciones de salto queda, para la componente normal
y para la tangencial
2.1 Permitividad relativa
Dividiendo una igualdad por la otra obtenemos
lo que nos da la permitividad relativa
2.2 Módulo del campo
El módulo del campo podemos hallar de la continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico
Alternativamente, puede hallarse la permitividad una vez conocido el módulo del campo, a partir de la continuidad de la componente normal del desplazamiento.
3 Carga de polarización
La polarización en un medio lineal verifica
y la carga de polarización en la interfaz es
![\sigma_p = -\mathbf{n}\cdot[\mathbf{P}] = -\overbrace{\mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}]}^{=0}+\varepsilon_0\mathbf{n}\cdot[\mathbf{E}]=\varepsilon_0(E_{2n}-E_{1n})](/wiki/images/math/1/2/0/120d8e9d58e022681b86fa0bf3661ae0.png)
En términos de los módulos
Sustituyendo los valores numéricos
4 Salto en el desplazamiento
Del mismo modo que el campo eléctrico es continuo en su componente tangencial, pero discontinuo en la normal (debido a la densidad de carga de polarización), el vector desplazamiento es continuo en su componente normal, pero discontinuo en la tangencial (debido de nuevo a la polarización).
![[D_t]=D_{2t}-D_{1t} = \varepsilon_0E_{2t}-\varepsilon E_{1t}=-\frac{1}{2}(\varepsilon_0-\varepsilon)|\mathbf{E}_2|](/wiki/images/math/7/5/6/7568a8b08b9c7499e349d64295e267bc.png)
Sustituyendo los valores numéricos
![[D_t]= 885\,\frac{\mathrm{pC}}{\mathrm{m}^2}](/wiki/images/math/5/c/8/5c81d3ace2d4e271c8ebbef57577af7d.png)
