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Refracción de un campo eléctrico

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
Línea 14: Línea 14:
donde la densidad de carga libre es nula por tratarse de un dieléctrico ideal del que no se nos dice que esté cargado.
donde la densidad de carga libre es nula por tratarse de un dieléctrico ideal del que no se nos dice que esté cargado.
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Tomando un sistema de ejes en el que el campo se encuentra en el plano XZ, siendo el eje X el tangente a la superficie y el Z el normal a ella, tenemos que la condición de continuidad en la componente normal del vector desplazamiento  equivale a
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Si separamos cada campo en una componente normal a la superficie y una tangencial a ella, queda, por lado
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siendo 1 el dieléctrico y 2 el vacío. En términos del campo eléctrico, esta condición es
siendo 1 el dieléctrico y 2 el vacío. En términos del campo eléctrico, esta condición es
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La condición de continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico se expresa
La condición de continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico se expresa
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A su vez, para el dieléctrico tenemos, de acuerdo con la figura
A su vez, para el dieléctrico tenemos, de acuerdo con la figura
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<center><math>E_{1x} = -|\mathbf{E}_1|\,\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}|\mathbf{E}_1|</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>E_{1z} = -|\mathbf{E}_1|\,\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}|\mathbf{E}_1|</math></center>
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y para el vacío
y para el vacío
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<center><math>E_{2x} = -|\mathbf{E}_2|\,\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}|\mathbf{E}_1|</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>E_{2z} = -|\mathbf{E}_2|\,\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}|\mathbf{E}_1|</math></center>
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Llevando esto a las dos condiciones de salto queda, para la componente normal
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y para la tangencial
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===Permitividad relativa===
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Dividiendo una igualdad por la otra obtenemos
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lo que nos da la permitividad relativa
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===Módulo del campo===
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El módulo del campo podemos hallar de la continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico
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Alternativamente, puede hallarse la permitividad una vez conocido el módulo del campo, a partir de la continuidad de la componente normal del desplazamiento.
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==Permitividad relativa==
 
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==Módulo del campo==
 
==Carga de polarización==
==Carga de polarización==
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La polarización en un medio lineal verifica
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y la carga de polarización en la interfaz es
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<center><math>\sigma_p = -\mathbf{n}\cdot[\mathbf{P}] = -\overbrace{\mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}]}^{=0}+\varepsilon_0\mathbf{n}\cdot[\mathbf{E}]=\varepsilon_0(E_{2n}-E_{1n})</math></center>
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En términos de los módulos
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<center><math>\sigma_p = \varepsilon_0\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}|\mathbf{E}_2|+\frac{1}{2}|\mathbf{E}_1|\right)</math></center>
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==Salto en el desplazamiento==
==Salto en el desplazamiento==
[[Categoría:Problemas de materiales dieléctricos]]
[[Categoría:Problemas de materiales dieléctricos]]

Revisión de 20:58 3 mar 2011

Contenido

1 Enunciado

El campo eléctrico en el exterior de un dieléctrico tiene por módulo 100 V/m y forma un ángulo π / 6 con la normal a la superficie. El campo en el interior del medio forma un ángulo π / 3 con la normal. Halle:
  1. La permitividad relativa del medio.
  2. El módulo del campo en el interior del material.
  3. La densidad de carga de polarización en la frontera.
  4. El salto en la componente tangencial de \mathbf{D}.

2 Introducción

Este problema se reduce a aplicar las condiciones de salto en la interfaz entre el dieléctrico y el vacío

\mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}]=\sigma_l =0        \mathbf{n}\times[\mathbf{E}]=\mathbf{0}

donde la densidad de carga libre es nula por tratarse de un dieléctrico ideal del que no se nos dice que esté cargado.

Si separamos cada campo en una componente normal a la superficie y una tangencial a ella, queda, por lado

D_{1n}=D_{2n}\,

siendo 1 el dieléctrico y 2 el vacío. En términos del campo eléctrico, esta condición es

\varepsilon E_{1n}=\varepsilon_0E_{2n}

La condición de continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico se expresa

E_{1t}=E_{1t}\,

A su vez, para el dieléctrico tenemos, de acuerdo con la figura

E_{1t} = -|\mathbf{E}_1|\,\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}|\mathbf{E}_1|        E_{1n} = -|\mathbf{E}_1|\,\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}|\mathbf{E}_1|

y para el vacío

E_{2t} = -|\mathbf{E}_2|\,\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}|\mathbf{E}_2|        E_{2n} = -|\mathbf{E}_2|\,\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}|\mathbf{E}_2|

Llevando esto a las dos condiciones de salto queda, para la componente normal

-\frac{1}{2}\varepsilon|\mathbf{E}_1|= -\frac{\sqrt{3}}{2}\varepsilon_0|\mathbf{E}_2|

y para la tangencial

-\frac{\sqrt{3}}{2}|\mathbf{E}_1|= -\frac{1}{2}|\mathbf{E}_2|

2.1 Permitividad relativa

Dividiendo una igualdad por la otra obtenemos

\frac{\varepsilon}{\sqrt{3}}= \varepsilon_0\sqrt{3}

lo que nos da la permitividad relativa

\varepsilon_r = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}=3

2.2 Módulo del campo

El módulo del campo podemos hallar de la continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico

|\mathbf{E}_1| = \frac{1}{\sqrt{3}}|\mathbf{E}|_2 = 58\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}

Alternativamente, puede hallarse la permitividad una vez conocido el módulo del campo, a partir de la continuidad de la componente normal del desplazamiento.

3 Carga de polarización

La polarización en un medio lineal verifica

\mathbf{P}=\mathbf{D}-\varepsilon_0\mathbf{E}

y la carga de polarización en la interfaz es

\sigma_p = -\mathbf{n}\cdot[\mathbf{P}] = -\overbrace{\mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}]}^{=0}+\varepsilon_0\mathbf{n}\cdot[\mathbf{E}]=\varepsilon_0(E_{2n}-E_{1n})

En términos de los módulos

\sigma_p = \varepsilon_0\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}|\mathbf{E}_2|+\frac{1}{2}|\mathbf{E}_1|\right)


4 Salto en el desplazamiento

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Refracci%C3%B3n_de_un_campo_el%C3%A9ctrico"

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