6.3. Barra apoyada en placa

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 16:15 21 dic 2010

Contenido

1 Enunciado
2 Centros instantáneos de rotación
3 Velocidades
- 3.1 Conociendo la posición del CIR {20}
- 3.2 Desconociendo la posición del CIR {20}
4 Determinación analítica del CIR

1 Enunciado

El esquema de la figura muestra una placa cuadrada de lado $a$ (sólido ``0"), uno de cuyos lados desliza sobre el eje horizontal fijo $O X 1$ (sólido “1”), mientras que la placa permanece contenida siempre en el plano vertical fijo $O X 1 Y 1$ . Sobre el vértice A de dicha placa se apoya en todo instante una varilla delgada (sólido “2”), que gira con velocidad angular constante $\vec{\omega}_{21}=\Omega \vec{k}_1$ , alrededor de su extremo articulado en el punto fijo O (ver figura). Se pide:

Determinar gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación $I 21$ , $I 02$ e $I 01$ .
Calcular: i) La velocidad del vértice A de la placa en el movimiento de ésta respecto de los ejes fijos (movimiento {01}), expresada en función de la posición del sistema: $\vec{v}_{\! 01}^A=\vec{v}_{01}^A(\theta)$ . ii) La velocidad angular $\vec{\omega}_{02}$ , correspondiente al movimiento relativo de la placa respecto de la varilla (movimiento {02}).
Determinar analíticamente la posición del CIR del movimiento {02} (en función del ángulo $θ$ ).

2 Centros instantáneos de rotación

Del movimiento {01}: La placa realiza un movimiento de traslación horizontal, por lo que el centro instantáneo de rotación del movimiento {20} será un punto del infinito situado según la dirección vertical.

Del movimiento {21}: La barra efectúa un movimiento de rotación en torno al punto en el cual se encuentra articulada. Este punto será el CIR $I 21$ , que de hecho en este caso se trata de un centro permanente y no solo instantáneo.

Del movimiento {20}: Por el teorema de los tres centros, el CIR $I 20$ estará alineado con los otros dos. Puesto que $I 01$ está en el infinito según la dirección vertical, el CIR $I 20$ debe encontrarse en la vertical del punto $O = I 21$ , esto es, se trata de un punto del eje $O Y 1$ .

Queda por determinar la posición sobre este eje. Para ello necesitamos la dirección de la velocidad de algún punto en el movimiento {20} o el {02}. El más simple es el punto A, donde contactan la barra y la placa. Este contacto impone un vínculo sobre las posibles velocidades de A. En particular, impide que A, en el movimiento {02}, tenga una componente perpendicular a la propia barra, ya que de ser así atravesaría ésta.

Por tanto, $\vec{v}^A_{20}$ es tangente a la propia barra. Ello implica que

I 20

se encuentra en la intersección de la perpendicular a la barra por A con el eje

O Y 1

.

Podemos obtener las coordenadas de este punto empleando trigonometría. Si la altura de la placa es

a

, la distancia OA es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, por lo que

$\left|\overrightarrow{OA}\right| = \frac{a}{\mathrm{sen}(\theta)}$

La altura

h

es la hipotenusa de otro triángulo rectángulo, uno de cuyos catetos es OA. Por ello

$h = \frac{\left|\overrightarrow{OA}\right|}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)} = \frac{a}{\mathrm{sen}^2(\theta)}$

En forma vectorial

$\overrightarrow{OI}_{20}=\frac{a}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\jmath}_1$

3 Velocidades

3.1 Conociendo la posición del CIR {20}

Para hallar la velocidad de traslación de A (que es la misma de cualquier otro punto de la placa), podemos usar la ley de composición de velocidades

$\vec{v}^A_{01} = \vec{v}^A_{02}+\vec{v}^A_{21}$

Cada una de estas velocidades es una rotación alrededor de su correspondiente CIR

$\vec{v}^A_{01} = \omega_{02}\vec{k}\times\overrightarrow{I_{02}A}+\omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{I_{21}A}$

La velocidad angular $ω 21$ la da la derivada temporal del ángulo que forma el $O X 1$ con el $O X 2$ , que suponemos ligado a la propia barra:

$\omega_{21}=\dot{\theta}$

La del movimiento {02} la obtenemos por composición de velocidades angulares, teniendo en cuenta que el movimiento {01} es una traslación

$0 = \omega_{01} = \omega_{02}+\omega_{21}\qquad\Rightarrow\qquad \omega_{02}= -\omega_{21} = -\dot{\theta}$

Resulta una velocidad angular igual y opuesta a la primera. De aquí llegamos a la velocidad de traslación

$\vec{v}^A_{01} = \dot{\theta}\left(-\vec{k}\times\overrightarrow{I_{02}A}+\vec{k}\times\overrightarrow{I_{21}A}\right)=\dot{\theta}\vec{k}\times\overrightarrow{I_{21}I_{02}}$

El vector de posición relativo entre los dos centros instantáneos de rotación es

$\overrightarrow{I_{21}I_{02}}=\overrightarrow{OI_{02}}=h\vec{\jmath}_1 = \frac{a}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\jmath}$

y llegamos a la velocidad de traslación

$\vec{v}^A_{21}=\dot{\theta}\vec{k}\times\left(\frac{a}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\jmath}\right) = -\frac{a\dot{\theta}}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\imath}_1$

3.2 Desconociendo la posición del CIR {20}

Alternativamente, supongamos que en el primer apartado no hemos sido capaces de localizar el centro instantáneo de rotación $I 20$ . ¿Cómo podemos hallar en ese caso la velocidad de traslación?

Recurrimos de nuevo a la fórmula de composición de velocidades

$\vec{v}^A_{01}=\vec{v}^A_{02}+\vec{v}^A_{21}$

4 Determinación analítica del CIR

@@ Línea 44: / Línea 44: @@
 <center><math>\vec{v}^A_{01} = \omega_{02}\vec{k}\times\overrightarrow{I_{02}A}+\omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{I_{21}A}</math></center>
-La velocidad angular <math>\omega_{21}</math> la da la derivada temporal del ángulo
+La velocidad angular <math>\omega_{21}</math> la da la derivada temporal del ángulo que forma el <math>OX_1</math> con el <math>OX_2</math>, que suponemos ligado a la propia barra:
 <center><math>\omega_{21}=\dot{\theta}</math></center>

6.3. Barra apoyada en placa

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1 Enunciado

2 Centros instantáneos de rotación

3 Velocidades

3.1 Conociendo la posición del CIR {20}

3.2 Desconociendo la posición del CIR {20}

4 Determinación analítica del CIR

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