6.3. Barra apoyada en placa

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Centros instantáneos de rotación
3 Velocidades
4 Determinación analítica del CIR

1 Enunciado

El esquema de la figura muestra una placa cuadrada de lado $a$ (sólido ``0"), uno de cuyos lados desliza sobre el eje horizontal fijo $O X 1$ (sólido “1”), mientras que la placa permanece contenida siempre en el plano vertical fijo $O X 1 Y 1$ . Sobre el vértice A de dicha placa se apoya en todo instante una varilla delgada (sólido “2”), que gira con velocidad angular constante $\vec{\omega}_{21}=\Omega \vec{k}_1$ , alrededor de su extremo articulado en el punto fijo O (ver figura). Se pide:

Determinar gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación $I 21$ , $I 02$ e $I 01$ .
Calcular: i) La velocidad del vértice A de la placa en el movimiento de ésta respecto de los ejes fijos (movimiento {01}), expresada en función de la posición del sistema: $\vec{v}_{\! 01}^A=\vec{v}_{01}^A(\theta)$ . ii) La velocidad angular $\vec{\omega}_{02}$ , correspondiente al movimiento relativo de la placa respecto de la varilla (movimiento {02}).
Determinar analíticamente la posición del CIR del movimiento {02} (en función del ángulo $θ$ ).

2 Centros instantáneos de rotación

Del movimiento {01}: La placa realiza un movimiento de traslación horizontal, por lo que el centro instantáneo de rotación del movimiento {20} será un punto del infinito situado según la dirección vertical.

Del movimiento {21}: La barra efectúa un movimiento de rotación en torno al punto en el cual se encuentra articulada. Este punto será el CIR $I 21$ , que de hecho en este caso se trata de un centro permanente y no solo instantáneo.

Del movimiento {20}: Por el teorema de los tres centros, el CIR $I 20$ estará alineado con los otros dos. Puesto que $I 01$ está en el infinito según la dirección vertical, el CIR $I 20$ debe encontrarse en la vertical del punto $O = I 21$ , esto es, se trata de un punto del eje $O Y 1$ .

Queda por determinar la posición sobre este eje. Para ello necesitamos la dirección de la velocidad de algún punto en el movimiento {20} o el {02}. El más simple es el punto A, donde contactan la barra y la placa. Este contacto impone un vínculo sobre las posibles velocidades de A. En particular, impide que A, en el movimiento {02}, tenga una componente perpendicular a la propia barra, ya que de ser así atravesaría ésta.

Por tanto, $\vec{v}^A_{20}$ es tangente a la propia barra. Ello implica que

I 20

se encuentra en la intersección de la perpendicular a la barra por A con el eje

O Y 1

.

Podemos obtener las coordenadas de este punto empleando trigonometría. Si la altura de la placa es

a

, la distancia OA es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, por lo que

$L = \left|\overrightarrow{OA}\right| = \frac{a}{\mathrm{sen}(\theta)}$

La altura

h

es la hipotenusa de otro triángulo rectángulo, uno de cuyos catetos es OA. Por ello

$h = \frac{L}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)} = \frac{a}{\mathrm{sen}^2(\theta)}$

En forma vectorial

$\overrightarrow{OI}_{20}=\frac{a}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\jmath}_1$

3 Velocidades

3.1 Conociendo la posición del CIR {20}

Para hallar la velocidad de traslación de A (que es la misma de cualquier otro punto de la placa), podemos usar la ley de composición de velocidades

$\vec{v}^A_{01} = \vec{v}^A_{02}+\vec{v}^A_{21}$

Cada una de estas velocidades es una rotación alrededor de su correspondiente CIR

$\vec{v}^A_{01} = \omega_{02}\vec{k}\times\overrightarrow{I_{02}A}+\omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{I_{21}A}$

La velocidad angular $ω 21$ la da la derivada temporal del ángulo que forma el $O X 1$ con el $O X 2$ , que suponemos ligado a la propia barra:

$\omega_{21}=\dot{\theta}$

La del movimiento {02} la obtenemos por composición de velocidades angulares, teniendo en cuenta que el movimiento {01} es una traslación

$0 = \omega_{01} = \omega_{02}+\omega_{21}\qquad\Rightarrow\qquad \omega_{02}= -\omega_{21} = -\dot{\theta}$

Resulta una velocidad angular igual y opuesta a la primera. De aquí llegamos a la velocidad de traslación

$\vec{v}^A_{01} = \dot{\theta}\left(-\vec{k}\times\overrightarrow{I_{02}A}+\vec{k}\times\overrightarrow{I_{21}A}\right)=\dot{\theta}\vec{k}\times\overrightarrow{I_{21}I_{02}}$

El vector de posición relativo entre los dos centros instantáneos de rotación es

$\overrightarrow{I_{21}I_{02}}=\overrightarrow{OI_{02}}=h\vec{\jmath}_1 = \frac{a}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\jmath}$

y llegamos a la velocidad de traslación

$\vec{v}^A_{01}=\dot{\theta}\vec{k}\times\left(\frac{a}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\jmath}\right) = -\frac{a\dot{\theta}}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\imath}_1$

3.2 Mediante derivación

La posición de traslación de la placa puede obtenerse también derivando respecto al tiempo la posición de cualquiera de sus puntos. Así, la posición instantánea de A la podemos escribir

$\overrightarrow{OA}=x\vec{\imath}_1 + a\vec{\jmath}_1$

y su velocidad de traslación será

$\vec{v}^A_{01}= \left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\overrightarrow{OA}\right|_1 = \dot{x}\vec{\imath}_1$

El valor de la coordenada x lo obtenemos aplicando trigonometría, se trata del cateto contiguo de un triángulo rectángulo, de forma que

$\frac{a}{x}=\mathrm{tg}(\theta)$ $\Rightarrow$ $x = a\,\mathrm{cotg}(\theta)$

y su derivada, por la regla de la cadena, vale

$\dot{x}= -\frac{a\dot{\theta}}{\mathrm{sen}^2(\theta)}$

lo que nos da la velocidad de traslación

$\vec{v}^A_{01}=-\frac{a\dot{\theta}}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\imath}_1$

que coincide con lo que ya sabíamos.

3.3 Por composición de velocidades

Alternativamente, supongamos que en el primer apartado no hemos sido capaces de localizar el centro instantáneo de rotación $I 20$ , ni tampoco estamos seguros de si la posición de A se puede derivar o no. ¿Cómo podemos hallar en ese caso la velocidad de traslación?

Recurrimos de nuevo a la fórmula de composición de velocidades

$\vec{v}^A_{01}=\vec{v}^A_{02}+\vec{v}^A_{21}$

Para la velocidad de A en el movimiento {21} tenemos que se trata de una rotación en torno al punto O, por lo que

$\vec{v}^A_{21} = \omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{OA}$

La velocidad angular $ω 21$ ya la hemos indicado

$\omega_{21}=\dot{\theta}$

El vector de posición lo podemos escribir tanto en el sistema “1” como en el “2”

$\overrightarrow{OA}=L\vec{\imath}_2=x\vec{\imath}_1+a\vec{\jmath}_1$

siendo

$L = \frac{a}{\mathrm{sen}(\theta)}$ $x=a\,\mathrm{cotg}(\theta)$

Así obtenemos la velocidad

$\vec{v}^A_{21}=\dot{\theta}L\vec{\jmath}_2 =\frac{a\dot{\theta}}{\mathrm{sen}(\theta)}$

Para el movimiento relativo {20} desconocemos la rapidez de A (si no sabemos dónde se halla el CIR), pero sí conocemos la dirección. El par cinemático asociado al contacto entre la placa y la barra exige que la velocidad sea puramente tangente a la barra, esto es

$\vec{v}^A_{02}=v^A_{20} \vec{\imath}_2$

Sumando las dos componentes obtenemos la velocidad

$\vec{v}^A_{01}=v\vec{\imath}_2+\frac{a\dot{\theta}}{\mathrm{sen}(\theta)}\vec{\jmath}_2$

Aunque esta velocidad posee dos componentes no nulas en la base “2”, debe tener una sola en la base “1”; ha de ser de la forma

$\vec{v}^A_{01}=v^A_{01}\vec{\imath}_1$

Tenemos ahora varias posibilidades de acción:

Sustituir los vectores de una base e igualar las componentes resultantes.
Proyectar sobre el vector $\vec{\jmath}_1$ e imponer que el resultado sea nulo.
Proyectar sobre $\vec{\jmath}_2$ para eliminar la cantidad $v$ desconocida.

Si elegimos este último camino, igualamos las dos expresiones para la velocidad de A

$v\vec{\imath}_2+\frac{a\dot{\theta}}{\mathrm{sen}(\theta)}\vec{\jmath}_2=v^A_{01}\vec{\imath}_1$

Multiplicando los dos miembros por el vector unitario $\vec{j}_2$ nos queda

$\frac{a\dot{\theta}}{\mathrm{sen}(\theta)} = v^A_{01} \vec{\imath}_1\cdot\vec{\jmath}_2$

El último producto escalar vale

$\vec{\imath}_1\cdot\vec{\jmath}_2=\vec{\imath}_1\cdot\left(-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1+\cos(\theta)\vec{\jmath}_1\right)=-\mathrm{sen}(\theta)$

y llegamos finalmente al resultado conocido

$\frac{a\dot{\theta}}{\mathrm{sen}(\theta)} = -v^A_{01} \mathrm{sen}(\theta)$ $\Rightarrow$ $\vec{v}^A_{01}=-\frac{a\dot{\theta}}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\imath}_1$

4 Determinación analítica del CIR

La posición del CIR $I 20$ también puede hacerse analíticamente si, por cualquier método, somos capaces de determinar la velocidad de un punto en este movimiento y sabemos también la velocidad angular.

Así para el punto O tenemos, despejando en la fórmula de composición de velocidades,

$\vec{v}^O_{20}=\vec{v}^O_{21}-\vec{v}^O_{01}$

La primera es la velocidad de rotación en torno al propio punto O (que será nula por tanto); la segunda es la de la traslación {01}, que será igual a la del punto A. Por tanto

$\vec{v}^O_{20}=\overbrace{\vec{v}^O_{21}}^{=\vec{0}}-\overbrace{\vec{v}^O_{01}}^{=\vec{v}^A_{01}} = \frac{a\dot{\theta}}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\imath}_1$

La velocidad angular fue calculada previamente como

$\omega_{20}=\omega_{21}-\omega_{10}=\dot{\theta}-0=\dot{\theta}$

Hallamos ahora la posición relativa del CIR aplicando

$\overrightarrow{OI}= \frac{\vec{k}\times\vec{v}^O_{20}}{\omega_{20}}=\frac{a}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{k}\times\vec{\imath}_1 = \frac{a}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\jmath}_1$

que, por supuesto, coincide con lo obtenido de forma geométrica en el primer apartado.

6.3. Barra apoyada en placa

De Laplace

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1 Enunciado

2 Centros instantáneos de rotación

3 Velocidades

3.1 Conociendo la posición del CIR {20}

3.2 Mediante derivación

3.3 Por composición de velocidades

4 Determinación analítica del CIR

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