Tiro oblicuo (G.I.A.)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 09:42 2 nov 2010

1 Enunciado

Determina el movimiento de un proyectil disparado con una velocidad inicial $v 0$ y un ángulo $α$ con la horizontal. El proyectil está sometido a la acción de la gravedad. Calcula el radio de curvatura en el punto más alto de su trayectoria.

2 Solución

2.1 Movimiento del proyectil

El proyectil está sometido a la acción de la gravedad, es decir, a una aceleración uniforme. Elegimos el sistema de referencia como se indica en el dibujo, con el eje $O X$ sobre la horizontal y el eje $O Y$ vertical al suelo. En este sistema de referencia, la gravedad es

$\vec{g} = -g\,\vec{\jmath}$

La ecuación que determina la velocidad en función del tiempo es

$\mathrm{d}\vec{v} = \vec{a}_0\mathrm{d} t\to \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{d} v_x = 0\\ \mathrm{d} v_y = -g\mathrm{d} t\\ \mathrm{d} v_z = 0 \end{array} \right.$

Integrando una vez resulta

$\vec{v}(t) = \left\{ \begin{array}{l} v_x = v_{x0}\\ v_y = v_{y0}-g t\\ v_z = v_{z0} \end{array} \right.$

La velocidad inicial es

$\vec{v}_0 = \left( v_0\cos\alpha,v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha,0\right)$

Con lo que la evolución de la velocidad en el tiempo es

$\vec{v}(t) = (v_0\cos\alpha,v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha-g t,0)$

Obtenemos la posición en cada instante del proyectil integrando la ecuación

$\mathrm{d}\vec{r} = \vec{v}(t)\mathrm{d} t\to \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{d} x = v_x(t)\mathrm{d} t = v_{x0}\,\mathrm{d} t\\ \mathrm{d} y = v_y(t)\mathrm{d} t= (v_{y0} - g t)\,\mathrm{d} t\\ \mathrm{d} z = v_z(t)\mathrm{d} t= 0 \end{array} \right.$

Integrando obtenemos

$\vec{r}(t) = \left\{ \begin{array}{l} x = v_{x0}\,t\\ y = v_{y0}\,t-\dfrac{1}{2}gt^2\\ z = 0 \end{array} \right.$

Hemos supuesto que el movimiento parte del origen del sistema de referencia.

El punto de máxima altura se obtiene cuando la velocidad vertical se anula. Igualando a cero la velocidad $v y (t)$ obtenemos

$T_m = \dfrac{v_{y0}}{g}=\dfrac{v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha}{g}$

En este instante la velocidad y la aceleración son perpendiculares, es decir, la aceleración es

$\vec{a} = a_N(T_m)\vec{N} = -g\vec{\jmath} = \dfrac{v^2}{R_{\kappa}}\vec{\jmath}.$

Por tanto el radio de curvatura es

$R_{\kappa} = \left|\dfrac{v^2}{a_N}\right| = \dfrac{v_{0x}^2}{g} = \dfrac{v_0^2\cos^2\alpha}{g}.$

@@ Línea 3: / Línea 3: @@
 == Solución ==
-El campo gravitatorio ejerce una fuerza <math>\vec{F}=m\,\vec{g}</math> sobre una partícula de masa <math>m</math>.
-Según la Segunda Ley de Newton la aceleración de la partícula es
+===Movimiento del proyectil===
+El proyectil está sometido a la acción de la gravedad, es decir, a una aceleración uniforme. Elegimos
+el sistema de referencia como se indica en el dibujo, con el eje <math>OX</math> sobre la horizontal y el eje <math>OY</math>
+vertical al suelo. En este sistema de referencia, la gravedad es
 <center><math>
-   \vec{a} = \dfrac{1}{m}\vec{F} = \dfrac{1}{m}m\,\vec{g} = \vec{g}
+   \vec{g} = -g\,\vec{\jmath}
 </math></center>
-El enunciado nos da un sistema de ejes en el que la aceleración de la gravedad está
+La ecuación que determina la velocidad en función del tiempo es
-dirigida en el sentido negativo del eje <math>OZ</math>, esto es
+[[Imagen:F1_GIA_p03_03.png|right]]
 <center><math>
-   \vec{g} = -g\,\vec{k}
+   \mathrm{d}\vec{v} = \vec{a}_0\mathrm{d} t\to
+\left\{
+  \begin{array}{l}
+    \mathrm{d} v_x = 0\\
+    \mathrm{d} v_y = -g\mathrm{d} t\\
+    \mathrm{d} v_z = 0
+  \end{array}
+\right.
 </math></center>
-La velocidad de la partícula se calcula como la integral del vector aceleración en el
+Integrando una vez resulta
-tiempo. Si la velocidad inicial es <math>\vec{v}(0)</math> tenemos
 <center><math>
-  \int\limits_{\vec{v}(0)}^{\vec{v}(t)}\mathrm{d}\vec{v} = \int\limits_0^t\vec{a}\,\mathrm{d} t
+ \vec{v}(t) =
-  \Longrightarrow
+\left\{
-     \vec{v}(t) = \vec{v}(0) - \int\limits_0^t g\,\vec{k}\,\mathrm{d} t
+  \begin{array}{l}
+    v_x = v_{x0}\\
+     v_y = v_{y0}-g t\\
+    v_z = v_{z0}
+  \end{array}
+\right.
 </math></center>
-Teniendo en cuenta que <math>g</math> y <math>\vec{k}</math> son constantes podemos hacer la integral para obtener
+La velocidad inicial es
 <center><math>
-   \vec{v}(t) = \vec{v}(0) - g\,t\,\vec{k}
+   \vec{v}_0 = \left( v_0\cos\alpha,v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha,0\right)
 </math></center>
-La posición se determina de modo similar integrando la velocidad
+Con lo que la evolución de la velocidad en el tiempo es
 <center><math>
-   \int\limits_{\vec{r}(0)}^{\vec{r}(t)}\mathrm{d}\vec{r} = \int\limits_0^t \vec{v} \,\mathrm{d} t
+   \vec{v}(t) = (v_0\cos\alpha,v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha-g t,0)
-  \Longrightarrow
-  \vec{r}(t) = \vec{r}(0) + \int\limits_0^t\left(\vec{v}(0) - g\,t\,\vec{k} \right)\,\mathrm{d} t
 </math></center>
-Como <math>\vec{v}(0)</math>, <math>g</math> y <math>\vec{k}</math> son constantes obtenemos
+Obtenemos la posición en cada instante del proyectil integrando la
+ecuación
 <center><math>
-   \vec{r}(t) = \vec{r}(0) + \vec{v}(0)\,t - \dfrac{1}{2}g\,t^2\,\vec{k}
+   \mathrm{d}\vec{r} = \vec{v}(t)\mathrm{d} t\to
-</math></center>
+\left\{
-Las expresiones para <math>\vec{r}(t) </math> y <math>\vec{v}(t) </math>  describen el movimiento genérico de una partícula en el seno del
-campo gravitatorio. El movimiento concreto depende del valor de estas condiciones
-iniciales. Vamos a ver los tres casos descritos en el enunciado.
-===Caso 1===
-[[Imagen:F1_GIA_p04_03_a.png|right]]
-[[Imagen:F1_GIA_p04_03_b.png|right]]
-Sustituyendo las condiciones iniciales tenemos
-<center><math>
-  \left.
    \begin{array}{l}
-     \vec{v}(t) = (v_0 - g\,t) \, \vec{k} \\ \\
+     \mathrm{d} x = v_x(t)\mathrm{d} t = v_{x0}\,\mathrm{d} t\\
-     \vec{r}(t) = \left(v_0t-\dfrac{1}{2}g\,t^2\right)\,\vec{k}
+     \mathrm{d} y = v_y(t)\mathrm{d} t= (v_{y0} - g t)\,\mathrm{d} t\\
+    \mathrm{d} z = v_z(t)\mathrm{d} t= 0
    \end{array}
-  \right.
+\right.
 </math></center>
-Tanto la velocidad como el vector de posición son paralelos al eje <math>OZ</math> en todo instante
+Integrando obtenemos
-de tiempo. En <math>t=0</math> la velocidad es positiva (suponiendo <math>v_0>0</math>)  por lo que la partícula
-sube verticalmente. AL avanzar el tiempo el término <math>gt\,</math> crece, hasta que iguala a <math>v_0</math>
-y lo sobrepasa. En ese instante la velocidad es negativa y la partícula se desplaza hacia
-abajo. La trayectoria es una línea recta. Este caso corresponde al '''tiro vertical'''.
-El instante para el que la altura es máxima corresponde al momento en que la velocidad se
-hace cero
 <center><math>
-   v(t_{max}) = 0 \Longrightarrow t_{max} = v_0/g
+   \vec{r}(t) =
+  \left\{
+    \begin{array}{l}
+      x = v_{x0}\,t\\
+      y = v_{y0}\,t-\dfrac{1}{2}gt^2\\
+      z = 0
+    \end{array}
+\right.
 </math></center>
-La altura máxima que alcanza la partícula se obtiene sustituyendo <math>t_{max}</math> en la
+Hemos supuesto que el movimiento parte del origen del sistema de
-expresión que da el vector de posición
+referencia.
+El punto de máxima altura se obtiene cuando la velocidad vertical se
+anula. Igualando a cero la velocidad <math>v_y(t)</math>
+obtenemos
 <center><math>
-   \vec{r}(t_{max}) = \dfrac{v_0^2}{2g}\,\vec{k}
+   T_m = \dfrac{v_{y0}}{g}=\dfrac{v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha}{g}
 </math></center>
-La figura muestra la orientación de la velocidad y el vector de posición antes y después
+En este instante la velocidad y la aceleración son perpendiculares, es
-de que la partícula alcance su máxima altura. A la derecha están representados la
+decir, la aceleración es
-evolución en el tiempo de  la velocidad y la altura para el caso <math>v_0=1\,\mathrm{m/s}</math>. El
-máximo de la altura corresponde al cero de la velocidad, como debe ser pues la velocidad
-es la derivada de la altura. Mientras que la velocidad es positiva la altura crece, y
-cuando se hace negativa decrece.
-===Caso 2===
-[[Imagen:F1_GIA_p04_03_c.png|right]]
-[[Imagen:F1_GIA_p04_03_d.png|right]]
-Aplicando las condiciones iniciales tenemos
 <center><math>
-   \left.
+   \vec{a} = a_N(T_m)\vec{N} = -g\vec{\jmath} = \dfrac{v^2}{R_{\kappa}}\vec{\jmath}.
-  \begin{array}{l}
-    \vec{v}(t) = v_0\,\vec{\imath} - g\,t \, \vec{k} \\ \\
-    \vec{r}(t) = v_0t\,\vec{\imath} + \left(h-\dfrac{1}{2}g\,t^2\right)\,kb
-  \end{array}
-  \right.
 </math></center>
-En <math>t=0</math> la velocidad de la partícula es horizontal. Según avanza el tiempo, la
+Por tanto el radio de curvatura es
-aceleración hace que aparezca una componente vertical hacia abajo. Esta situación
-corresponde al '''tiro horizontal'''. El desplazamiento de la partícula tiene una
-componente horizontal de movimiento con velocidad uniforme <math>v_0</math> y otra vertical con
-movimiento uniformemente acelerado.
-La figura muestra a la izquierda la trayectoria de la partícula y a la derecha la
-evolución de las componentes de la velocidad y la aceleración. La componente horizontal
-<math>v_x</math> es constante en el tiempo, mientras que el valor absoluto de la componente vertical
-<math>v_z(t)</math> crece linealmente con el tiempo. Por lo que respecta a las componentes
-espaciales, la horizontal crece linealmente y la vertical decrece con el cuadrado del
-tiempo.
-=== Caso 3 ===
-Sustituyendo las condiciones iniciales tenemos
 <center><math>
-   \left.
+   R_{\kappa} = \left|\dfrac{v^2}{a_N}\right| = \dfrac{v_{0x}^2}{g} =
-  \begin{array}{l}
+  \dfrac{v_0^2\cos^2\alpha}{g}.
-    \vec{v}(t) = v_0\cos\alpha\,\vec{\imath} +(v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha - g\,t) \, \vec{k} \\ \\
-    \vec{r}(t) = t\,v_0\cos\alpha\,\vec{\imath} + \left(t\,v_0\mathrm{sen}\,\alpha -\dfrac{1}{2}g\,t^2\right)\,kb
-  \end{array}
-  \right.
 </math></center>
-En <math>t=0</math> la velocidad forma un ángulo <math>\alpha</math> con la horizontal. La componente horizontal
-no cambia en el tiempo. La vertical es primero positiva, hasta que el término gravitatorio
-la anula y después la hace negativa. El movimiento corresponde a un '''tiro oblicuo'''.
 [[Categoría:Cinemática del punto material|1]]
 [[Categoría:Física I (G.I.A.)]]
 [[Categoría:Física I (G.I.T.I.)]]

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