Tiro oblicuo (G.I.A.)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 09:33 2 nov 2010

1 Enunciado

Determina el movimiento de un proyectil disparado con una velocidad inicial $v 0$ y un ángulo $α$ con la horizontal. El proyectil está sometido a la acción de la gravedad. Calcula el radio de curvatura en el punto más alto de su trayectoria.

2 Solución

El campo gravitatorio ejerce una fuerza $\vec{F}=m\,\vec{g}$ sobre una partícula de masa $m$ . Según la Segunda Ley de Newton la aceleración de la partícula es

$\vec{a} = \dfrac{1}{m}\vec{F} = \dfrac{1}{m}m\,\vec{g} = \vec{g}$

El enunciado nos da un sistema de ejes en el que la aceleración de la gravedad está dirigida en el sentido negativo del eje $O Z$ , esto es

$\vec{g} = -g\,\vec{k}$

La velocidad de la partícula se calcula como la integral del vector aceleración en el tiempo. Si la velocidad inicial es $\vec{v}(0)$ tenemos

$\int\limits_{\vec{v}(0)}^{\vec{v}(t)}\mathrm{d}\vec{v} = \int\limits_0^t\vec{a}\,\mathrm{d} t \Longrightarrow \vec{v}(t) = \vec{v}(0) - \int\limits_0^t g\,\vec{k}\,\mathrm{d} t$

Teniendo en cuenta que $g$ y $\vec{k}$ son constantes podemos hacer la integral para obtener

$\vec{v}(t) = \vec{v}(0) - g\,t\,\vec{k}$

La posición se determina de modo similar integrando la velocidad

$\int\limits_{\vec{r}(0)}^{\vec{r}(t)}\mathrm{d}\vec{r} = \int\limits_0^t \vec{v} \,\mathrm{d} t \Longrightarrow \vec{r}(t) = \vec{r}(0) + \int\limits_0^t\left(\vec{v}(0) - g\,t\,\vec{k} \right)\,\mathrm{d} t$

Como $\vec{v}(0)$ , $g$ y $\vec{k}$ son constantes obtenemos

$\vec{r}(t) = \vec{r}(0) + \vec{v}(0)\,t - \dfrac{1}{2}g\,t^2\,\vec{k}$

Las expresiones para $\vec{r}(t)$ y $\vec{v}(t)$ describen el movimiento genérico de una partícula en el seno del campo gravitatorio. El movimiento concreto depende del valor de estas condiciones iniciales. Vamos a ver los tres casos descritos en el enunciado.

@@ Línea 37: / Línea 37: @@
 campo gravitatorio. El movimiento concreto depende del valor de estas condiciones
 iniciales. Vamos a ver los tres casos descritos en el enunciado.
-===Caso 1===
-[[Imagen:F1_GIA_p04_03_a.png|right]]
-[[Imagen:F1_GIA_p04_03_b.png|right]]
-Sustituyendo las condiciones iniciales tenemos
-<center><math>
-  \left.
-  \begin{array}{l}
-    \vec{v}(t) = (v_0 - g\,t) \, \vec{k} \\ \\
-    \vec{r}(t) = \left(v_0t-\dfrac{1}{2}g\,t^2\right)\,\vec{k}
-  \end{array}
-  \right.
-</math></center>
-Tanto la velocidad como el vector de posición son paralelos al eje <math>OZ</math> en todo instante
-de tiempo. En <math>t=0</math> la velocidad es positiva (suponiendo <math>v_0>0</math>)  por lo que la partícula
-sube verticalmente. AL avanzar el tiempo el término <math>gt\,</math> crece, hasta que iguala a <math>v_0</math>
-y lo sobrepasa. En ese instante la velocidad es negativa y la partícula se desplaza hacia
-abajo. La trayectoria es una línea recta. Este caso corresponde al '''tiro vertical'''.
-El instante para el que la altura es máxima corresponde al momento en que la velocidad se
-hace cero
-<center><math>
-  v(t_{max}) = 0 \Longrightarrow t_{max} = v_0/g
-</math></center>
-La altura máxima que alcanza la partícula se obtiene sustituyendo <math>t_{max}</math> en la
-expresión que da el vector de posición
-<center><math>
-  \vec{r}(t_{max}) = \dfrac{v_0^2}{2g}\,\vec{k}
-</math></center>
-La figura muestra la orientación de la velocidad y el vector de posición antes y después
-de que la partícula alcance su máxima altura. A la derecha están representados la
-evolución en el tiempo de  la velocidad y la altura para el caso <math>v_0=1\,\mathrm{m/s}</math>. El
-máximo de la altura corresponde al cero de la velocidad, como debe ser pues la velocidad
-es la derivada de la altura. Mientras que la velocidad es positiva la altura crece, y
-cuando se hace negativa decrece.

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