Caída libre de un cuerpo
De Laplace
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- | ::siendo <math>\gamma</math> una constante de fricción que para una esfera en aire es de valor <math>\gamma = 3.4\times 10^{-4}\, | + | ::siendo <math>\gamma</math> una constante de fricción que para una esfera en aire es de de valor <math>\gamma(\mathrm{kg}/\mathrm{s}) = 3.4\times 10^{-4}\,R(\mathrm{m})</math> con <math>R</math> el radio de la partícula. Si se incluye esta fuerza, ¿qué ecuación de movimiento resulta para la velocidad vertical? |
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<li>Razone que, partiendo de la ecuación anterior, resulta que la velocidad tiende a un valor límite.</li> | <li>Razone que, partiendo de la ecuación anterior, resulta que la velocidad tiende a un valor límite.</li> |
Revisión de 16:57 13 oct 2010
Contenido |
1 Enunciado
Se trata de analizar el efecto de la fricción en la caída de un cuerpo pequeño, como puede ser una gota de lluvia.
- Inicialmente consideramos despreciable el rozamiento. Si tenemos una gota de agua de radio 0.5 mm que cae verticalmente, partiendo del reposo desde una altura h = 2 km, ¿cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? ¿Con qué velocidad impacta? Suponga g = 9.81 m/s².
- Para este mismo caso ideal, determine la energía cinética, potencial y mecánica en el punto inicial y el punto final del movimiento, así como para una altura z arbitraria.
- Un cuerpo pequeño inmerso en un fluido experimenta una fuerza de fricción viscosa de la forma

- siendo γ una constante de fricción que para una esfera en aire es de de valor
con R el radio de la partícula. Si se incluye esta fuerza, ¿qué ecuación de movimiento resulta para la velocidad vertical?
- siendo γ una constante de fricción que para una esfera en aire es de de valor
- Razone que, partiendo de la ecuación anterior, resulta que la velocidad tiende a un valor límite.
- Si prácticamente toda la caída de la gota se produce a la velocidad límite, ¿Con qué velocidad llega al suelo? ¿Cuánto tarda en caer? ¿Cuánta energía mecánica se pierde por el camino?
- Determine la expresión exacta de la velocidad y la altura como función del tiempo
2 Solución
Como ilustración de un problema básico de dinámica, consideremos el caso de una partícula de masa inercial m que cae verticalmente por acción de su peso, partiendo del reposo desde una altura z = h. Se trata de calcular la velocidad con la que llega al suelo y el tiempo que tarda en hacerlo.
2.1 Sin rozamiento
Supondremos en primer lugar que no existe fricción con el aire. En ese caso, la única fuerza actuando sobre la partícula es el peso, de forma que la ecuación de movimiento

En principio, la masa inercial no tiene por qué coincidir con la que aparece en el peso. Sin embargo, Galileo mostró que eran iguales y que todos los cuerpos caen la misma aceleración

Las condiciones iniciales para este problema son


La integración de esta sistema es inmediata. Integrando una vez

y una segunda vez

La partícula describe un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, aumentando la celeridad linealmente con el tiempo. La partícula impacta contra el suelo cuando z = 0 lo cual ocurre para

y la velocidad en ese momento

La componente vertical de la velocidad es negativa pues va dirigida hacia abajo. La celeridad en el momento de impacto es

Para una altura de inicial de 2 km, la celeridad de impacto correspondiente es aproximadamente de 200 m/s. Es evidente que no es esta la celeridad con la que una gota de lluvia (o un paracaidista) llega al suelo. Un cálculo correcto debe tener en cuenta la fricción con el aire.
2.2 Con rozamiento
Una partícula pequeña que se mueve en un fluido viscoso, como el aire, experimenta una fuerza de rozamiento que, para pequeñas celeridades, es proporcional a la velocidad y opuesta a ella

de forma que el movimiento de una gota de lluvia verifica la ecuación de movimiento



Puesto que el movimiento es puramente vertical, podemos reducir el problema al estudio de la componente vertical. Tenemos entonces la ecuación de movimiento

Antes de dar la solución, veamos cómo es el movimiento. Inicialmente la velocidad es nula, por lo que no hay fricción. El movimiento comienza siendo prácticamente uniformemente acelerado. Sin embargo, a medida que la celeridad va aumentando, la fricción crece y la aceleración disminuye. Llega un momento en que la fuerza de rozamiento iguala al peso, y la velocidad deja de aumentar en módulo, permaneciendo en su valor límite, dado por



(es negativa, pues se dirige hacia abajo). Si la altura de caída es muy grande, puede suponerse que la velocidad es prácticamente la límite para todo el trayecto, con lo que la celeridad de impacto es la celeridad límite y el tiempo de caída es aproximadamente

Este resultado sí está de acuerdo con la experiencia cotidiana de que los objetos más pesados tardan menos en caer e impactan con una mayor celeridad. Para una gota de agua de 1 mm de radio predice una celeridad de unos 2 m/s, valor mucho más razonable que el que omite el rozamiento.
La solución exacta la obtenemos hallando el incremento de velocidad entre dos instantes sucesivos

Despejando obtenemos el tiempo que tarda en producirse un aumento de velocidad diferencial como

Sumando todos los incrementos

Despejando la velocidad como función del tiempo

El comportamiento de esta función predice que efectivamente la velocidad tiende hacia la velocidad límite. Integrando de nuevo obtenemos la altura como función del tiempo

Sin embargo, para hallar el instante exacto en que llega al suelo (tz = 0) es preciso resolver una ecuación que solo admite solución numérica.