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Caída libre de un cuerpo

De Laplace

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(Página creada con '==Enunciado== Se trata de analizar el efecto de la fricción en la caída de un cuerpo pequeño, como puede ser una gota de lluvia. # Inicialmente consideramos despreciable el …')
(→Enunciado)
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<li>Determine la expresión exacta de la velocidad y la altura como función del tiempo</li>
<li>Determine la expresión exacta de la velocidad y la altura como función del tiempo</li>
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==Solución==
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Como ilustración de un problema básico de dinámica, consideremos el caso de una partícula de masa inercial <math>m</math> que cae verticalmente por acción de su peso, partiendo del reposo desde una altura <math>z=h</math>. Se trata de calcular la velocidad con la que llega al suelo y el tiempo que tarda en hacerlo.
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===Sin rozamiento===
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Supondremos en primer lugar que no existe fricción con el aire. En ese caso, la única fuerza actuando sobre la partícula es el peso, de forma que la ecuación de movimiento
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<center><math>m\vec{a}=m\vec{g}=-mg\vec{k}</math></center>
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En principio, la masa inercial no tiene por qué coincidir con la que aparece en el peso. Sin embargo, Galileo mostró que eran iguales y que todos los cuerpos caen la misma aceleración
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La integración de esta sistema es inmediata. Integrando una vez
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La partícula describe un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, aumentando la celeridad linealmente con el tiempo. La partícula impacta contra el suelo cuando <math>z=0</math> lo cual ocurre para
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La componente vertical de la velocidad es negativa pues va dirigida hacia abajo. La celeridad en el momento de impacto es
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Para una altura de inicial de 2&thinsp;km, la celeridad de impacto correspondiente es aproximadamente de 200&thinsp;m/s. Es evidente que no es esta la celeridad con la que una gota de lluvia (o un paracaidista) llega al suelo. Un cálculo correcto debe tener en cuenta la fricción con el aire.
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====Con rozamiento====
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Una partícula pequeña que se mueve en un fluido viscoso, como el aire, experimenta una fuerza de rozamiento que, para pequeñas celeridades, es proporcional a la velocidad y opuesta a ella
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de forma que el movimiento de una gota de lluvia verifica la ecuación de movimiento
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Puesto que el movimiento es puramente vertical, podemos reducir el problema al estudio de la componente vertical. Tenemos entonces la ecuación de movimiento
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<center><math>m\frac{\mathrm{d}v_{z}}{\mathrm{d}t}=-mg-\gamma v_{z}</math></center>
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Antes de dar la solución, veamos cómo es el movimiento. Inicialmente la velocidad es nula, por lo que no hay fricción. El movimiento comienza siendo prácticamente uniformemente acelerado. Sin embargo, a medida que la celeridad va aumentando, la fricción crece y la aceleración disminuye. Llega un momento en que la fuerza de rozamiento iguala al peso, y la velocidad deja de aumentar en módulo, permaneciendo en su valor límite, dado por
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<center><math>0 = -mg -\gamma v_{z}\,</math>{{tose}}<math>v_{z,\mathrm{lim}} = -\frac{mg}{\gamma}</math></center>
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(es negativa, pues se dirige hacia abajo). Si la altura de caída es muy grande, puede suponerse que la velocidad es prácticamente la límite para todo el trayecto, con lo que la celeridad de impacto es la celeridad límite y el tiempo de caída es aproximadamente
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<center><math>t_{z=0}\sim \frac{h}{v_\mathrm{lim}} = \frac{\gamma h}{mg}</math></center>
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Este resultado sí está de acuerdo con la experiencia cotidiana de que los objetos más pesados tardan menos en caer e impactan con una mayor celeridad. Para una gota de agua de 1&thinsp;mm de radio predice una celeridad de unos 2&thinsp;m/s, valor mucho más razonable que el que omite el rozamiento.
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La solución exacta la obtenemos hallando el incremento de velocidad entre dos instantes sucesivos
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<center><math>m\,\mathrm{d}v_{z} = -\left(mg+\gamma v_{z}\right)\mathrm{d}t</math></center>
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Despejando obtenemos el tiempo que tarda en producirse un aumento de velocidad diferencial como
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Sumando todos los incrementos
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<center><math>t = \int_0^t\mathrm{d}t = -\int_0^{v_{z}} \frac{m\,\mathrm{d}v_{z}}{mg+\gamma v_{z}} = -\frac{m}{\gamma}\ln\left(\frac{mg+\gamma v_{z}}{mg}\right)</math></center>
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Despejando la velocidad como función del tiempo
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El comportamiento de esta función predice que efectivamente la velocidad tiende hacia la velocidad límite. Integrando de nuevo obtenemos la altura como función del tiempo
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<center><math>z(t) = h-\frac{mg}{\gamma}t+\frac{m^2g}{\gamma^2}\left(1-\mathrm{e}^{-\gamma t/m}\right)</math></center>
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Sin embargo, para hallar el instante exacto en que llega al suelo (<math>t_{z=0}</math>) es preciso resolver una ecuación que solo admite solución numérica.
[[Categoría:Problemas de dinámica del punto material (G.I.T.I.)]]
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Revisión de 15:55 13 oct 2010

Contenido

1 Enunciado

Se trata de analizar el efecto de la fricción en la caída de un cuerpo pequeño, como puede ser una gota de lluvia.

  1. Inicialmente consideramos despreciable el rozamiento. Si tenemos una gota de agua de radio 0.5 mm que cae verticalmente desde una altura h = 2 km, que parte del reposo, ¿cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? ¿Con qué velocidad impacta? Suponga g = 9.81 m/s².
  2. Para este mismo caso ideal, determine la energía cinética, potencial y mecánica en el punto inicial y el punto final del movimiento, así como para una altura z arbitraria.
  3. Un cuerpo pequeño inmerso en un fluido experimenta una fuerza de fricción viscosa de la forma
\vec{F}_r=-\gamma\vec{v}
siendo γ una constante de fricción que para una esfera en aire es de valor en el SI \gamma = 3.4\times 10^{-4}R con R el radio de la partícula en m. Si se incluye esta fuerza, ¿qué ecuación de movimiento resulta para la velocidad vertical?
  1. Razone que, partiendo de la ecuación anterior, resulta que la velocidad tiende a un valor límite.
  2. Si prácticamente toda la caída de la gota se produce a la velocidad límite, ¿Con qué velocidad llega al suelo? ¿Cuánto atrda en caer? ¿Cuánta energía mecánica se pierde por el camino?
  3. Determine la expresión exacta de la velocidad y la altura como función del tiempo

      4. 2 Solución

      Como ilustración de un problema básico de dinámica, consideremos el caso de una partícula de masa inercial m que cae verticalmente por acción de su peso, partiendo del reposo desde una altura z = h. Se trata de calcular la velocidad con la que llega al suelo y el tiempo que tarda en hacerlo.

      2.1 Sin rozamiento

      Supondremos en primer lugar que no existe fricción con el aire. En ese caso, la única fuerza actuando sobre la partícula es el peso, de forma que la ecuación de movimiento

      m\vec{a}=m\vec{g}=-mg\vec{k}

      En principio, la masa inercial no tiene por qué coincidir con la que aparece en el peso. Sin embargo, Galileo mostró que eran iguales y que todos los cuerpos caen la misma aceleración

      \vec{a}=\vec{g}=-g\vec{k}

      Las condiciones iniciales para este problema son

      \vec{r}_0 = h\vec{k}        \vec{v}_0=\vec{0}

      La integración de esta sistema es inmediata. Integrando una vez

      \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{g}t = -gt\vec{k}

      y una segunda vez

      \vec{r}(t) = \left(h-\frac{1}{2}gt^2\right)\vec{k}

      La partícula describe un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, aumentando la celeridad linealmente con el tiempo. La partícula impacta contra el suelo cuando z = 0 lo cual ocurre para

      t_{z=0}= \sqrt{\frac{2h}{g}}

      y la velocidad en ese momento

      \vec{v}_{z=0}=-\sqrt{2gh}\vec{k}

      La componente vertical de la velocidad es negativa pues va dirigida hacia abajo. La celeridad en el momento de impacto es

      \left|\vec{v}\right| = \sqrt{2gh}

      Para una altura de inicial de 2 km, la celeridad de impacto correspondiente es aproximadamente de 200 m/s. Es evidente que no es esta la celeridad con la que una gota de lluvia (o un paracaidista) llega al suelo. Un cálculo correcto debe tener en cuenta la fricción con el aire.

      2.1.1 Con rozamiento

      Una partícula pequeña que se mueve en un fluido viscoso, como el aire, experimenta una fuerza de rozamiento que, para pequeñas celeridades, es proporcional a la velocidad y opuesta a ella

      \vec{F}_r=-\gamma\vec{v}

      de forma que el movimiento de una gota de lluvia verifica la ecuación de movimiento

      m\vec{a}=m\vec{g}-\gamma\vec{v}        \vec{r}_0=h\vec{k}        \vec{v}_0=\vec{0}

      Puesto que el movimiento es puramente vertical, podemos reducir el problema al estudio de la componente vertical. Tenemos entonces la ecuación de movimiento

      m\frac{\mathrm{d}v_{z}}{\mathrm{d}t}=-mg-\gamma v_{z}

      Antes de dar la solución, veamos cómo es el movimiento. Inicialmente la velocidad es nula, por lo que no hay fricción. El movimiento comienza siendo prácticamente uniformemente acelerado. Sin embargo, a medida que la celeridad va aumentando, la fricción crece y la aceleración disminuye. Llega un momento en que la fuerza de rozamiento iguala al peso, y la velocidad deja de aumentar en módulo, permaneciendo en su valor límite, dado por

      0 = -mg -\gamma v_{z}\,   \Rightarrow   v_{z,\mathrm{lim}} = -\frac{mg}{\gamma}

      (es negativa, pues se dirige hacia abajo). Si la altura de caída es muy grande, puede suponerse que la velocidad es prácticamente la límite para todo el trayecto, con lo que la celeridad de impacto es la celeridad límite y el tiempo de caída es aproximadamente

      t_{z=0}\sim \frac{h}{v_\mathrm{lim}} = \frac{\gamma h}{mg}

      Este resultado sí está de acuerdo con la experiencia cotidiana de que los objetos más pesados tardan menos en caer e impactan con una mayor celeridad. Para una gota de agua de 1 mm de radio predice una celeridad de unos 2 m/s, valor mucho más razonable que el que omite el rozamiento.

      La solución exacta la obtenemos hallando el incremento de velocidad entre dos instantes sucesivos

      m\,\mathrm{d}v_{z} = -\left(mg+\gamma v_{z}\right)\mathrm{d}t

      Despejando obtenemos el tiempo que tarda en producirse un aumento de velocidad diferencial como

      \mathrm{d}t = -\frac{m\,\mathrm{d}v_{z}}{mg+\gamma v_{z}}

      Sumando todos los incrementos

      t = \int_0^t\mathrm{d}t = -\int_0^{v_{z}} \frac{m\,\mathrm{d}v_{z}}{mg+\gamma v_{z}} = -\frac{m}{\gamma}\ln\left(\frac{mg+\gamma v_{z}}{mg}\right)

      Despejando la velocidad como función del tiempo

      v_{z}(t) = -\frac{mg}{\gamma}\left(1-\mathrm{e}^{-\gamma t/m}\right)

      El comportamiento de esta función predice que efectivamente la velocidad tiende hacia la velocidad límite. Integrando de nuevo obtenemos la altura como función del tiempo

      z(t) = h-\frac{mg}{\gamma}t+\frac{m^2g}{\gamma^2}\left(1-\mathrm{e}^{-\gamma t/m}\right)
      Sin embargo, para hallar el instante exacto en que llega al suelo (tz = 0) es preciso resolver una ecuación que solo admite solución numérica.
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Ca%C3%ADda_libre_de_un_cuerpo"

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