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Corrientes atmosféricas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Potencia disipada en la atmósfera)
(→Potencia disipada en la atmósfera)
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10^{12}\,\mathrm{J}\simeq 2\,\mathrm{TJ}</math> </center>
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El dominio de integración de la integral anterior merece un pequeño comentario. En principio la integral debería hacerse sobre una corona esférica de radio  menor <math>R_T</math> y radio mayor <math>R_T+H</math> (siendo <math>H\sim 100\,\mathrm{km}</math> el espesor típico de la atmósfera), con lo que la  integral quedaría  
El dominio de integración de la integral anterior merece un pequeño comentario. En principio la integral debería hacerse sobre una corona esférica de radio  menor <math>R_T</math> y radio mayor <math>R_T+H</math> (siendo <math>H\sim 100\,\mathrm{km}</math> el espesor típico de la atmósfera), con lo que la  integral quedaría  
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Un cálculo exacto, manteniendo la dependencia radial en el jacobiano, muestra que el error cometido al hacer estas aproximaciones es del 0.04%
Un cálculo exacto, manteniendo la dependencia radial en el jacobiano, muestra que el error cometido al hacer estas aproximaciones es del 0.04%
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===Tiempo de descarga atmósferica===
===Tiempo de descarga atmósferica===
[[Categoría:Problemas de corriente eléctrica]]
[[Categoría:Problemas de corriente eléctrica]]

Revisión de 15:58 12 jun 2008

Contenido

1 Enunciado

La resistividad del aire en la atmósfera decrece exponencialmente con la altura como

\sigma^{-1}=r=r_1 \mathrm{e}^{-\alpha_1 z}+ r_2 \mathrm{e}^{-\alpha_2 z}+r_3 \mathrm{e}^{-\alpha_3 z}\,

donde

\begin{array}{|c|c|c|} \hline i & r_i\ (10^{12}\,\Omega{\cdot}{\rm m}) & \alpha_i ({\rm km}^{-1}) \\ \hline \hline 1 & 46.9 & 4.527\\ \hline 2 & 22.2 & 0.375 \\ \hline 3 & 5.9 & 0.121 \\\hline \end{array}

El campo eléctrico en zonas despejadas de la superficie de la Tierra vale E_0=-100\,\mathrm{V}/\mathrm{m}. Este campo es prácticamente constante y va siempre en la dirección vertical.

A partir de estos datos halle

  1. El valor del campo eléctrico para un punto situado entre la superficie de la Tierra y la ionosfera (z = 100\,\mathrm{km}).
  2. La diferencia de potencial entre la superficie y la ionosfera.
  3. La distribución de cargas en la atmósfera.
  4. La corriente total que llega a la superficie de la Tierra.
  5. La potencia necesaria para mantener esta corriente estacionaria
  6. Estime el tiempo que tardaría la atmósfera en descargarse si no existiera un mecanismo generador

2 Solución

2.1 Campo eléctrico en el aire

Si el estado es estacionario se cumplirá que

\nabla{\cdot}\mathbf{J}=0

Si además consideramos que la dirección de la densidad de corriente es perpendicular al suelo (que es un conductor perfecto), nos queda \mathbf{J}=J\mathbf{u}_{z}, y la ecuación anterior se reduce a

\frac{\partial{}J}{\partial{}z}=0    \Rightarrow    J = J0 = cte

La densidad de corriente es uniforme. A partir de este dato podemos obtener el campo en cualquier punto de la atmósfera

E=\frac{J}{\sigma}=J_0r(z)=J_0\sum_ir_i\mathrm{e}^{-\alpha_iz}

El valor de J0 lo sacamos del valor del campo y de la resistividad en la superficie

E_0=J_0\sum_ir_i\quad\Rightarrow\quad J_0=\frac{E_0}{r_1+r_2+r_3}= -1.33\times 10^{-12} \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}^2}

El campo en función de la altura queda entonces

E(z)=\sum_i E_i \mathrm{e}^{-\alpha_i z}\qquad E_i= \frac{E_0r_i}{r_1+r_2+r_3}

Los valores de los coeficientes son

E_1=-62.5\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}    E_2=-29.6\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}    E_3=-7.9\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}

Según esto, la principal contribución al campo es la que decae más rápidamente.

2.2 Diferencia de potencial entre la superficie y la ionosfera

La diferencia de potencial la obtenemos integrando el campo eléctrico entre el suelo y la ionosfera

V_H-V_0=-\int_{0}^{H}E\,dz=-\sum_i \frac{E_i}{\alpha_i}\left(1-\mathrm{e}^{-\alpha_iH}\right)

Para todas las exponenciales el valor $\alpha_iH$ es tan grande que podemos despreciar la exponencial correspondiente, resultando la expresión para el potencial

V_H-V_0\simeq -\sum_i\frac{E_i}{\alpha_i}= 157.8\,\mathrm{kV}\sim 160\,\mathrm{kV}

Experimentalmente se comprueba que este valor puede fluctuar notablemente y suele llegar hasta los 200 kV.

2.3 Distribución de cargas

La distribución de cargas es inmediata a partir del campo eléctrico

\rho=\varepsilon_0\nabla{\cdot}\mathbf{E}=\varepsilon_0\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}z}=-\sum_i(\varepsilon_0 E_i\alpha_i)\mathrm{e}^{-\alpha_iz}

La mayor concentración de cargas se da junto la superficie terrestre y vale

\rho(z=0)=2.6\times 10^{-12}\,\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{m}^3}

Esta densidad de carga disminuye rápidamente con la altura. A 100 m se ha reducido a la mitad y a 1 km es la centésima parte de su valor en la superficie.

Sobre la superficie habrá una densidad de carga igual al salto en la componente normal del vector desplazamiento

\sigma_s=\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{D}]=\varepsilon_0 E_0=-8.9\times 10^{-10}\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{m}^2}

lo que supone una carga total en la superficie de la Tierra

Q_s=\int \sigma_s \,\mathrm{d}S=4\pi R_T^2\sigma_s\simeq -4.5\,\mathrm{mC}

2.4 Corriente que llega a la superficie

La intensidad de corriente total se obtiene a partir de la densidad de corriente que ya conocemos

I=\int\mathbf{J}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=4\pi R_T^2J_0\simeq -670\,\mathrm{A}

Estos aproximadamente 700 A representan cargas que llegan de forma continua a la tierra y que, dado el estado estacionario del sistema, deben ser repuestas a la atmósfera por algún mecanismo generador.

El cálculo de la intensidad permite hallar la resistencia global de la atmósfera

R=\frac{V}{I}=230\,\Omega

2.5 Potencia disipada en la atmósfera

La energía total almacenada es

U_\mathrm{e}=\int \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\,d\tau=\frac{1}{2}4\pi \varepsilon_0 R_T^2\int_0^{\infty}\left(\sum _i E_i \mathrm{e}^{-\alpha_i z}\right)^2\mathrm{d}z = \frac{1}{2}4\pi \varepsilon_0 R_T^2\sum_{i,j}\frac{E_iE_j}{\alpha_i+\alpha_j} =1.9\times 10^{12}\,\mathrm{J}\simeq 2\,\mathrm{TJ}

El dominio de integración de la integral anterior merece un pequeño comentario. En principio la integral debería hacerse sobre una corona esférica de radio menor RT y radio mayor RT + H (siendo H\sim 100\,\mathrm{km} el espesor típico de la atmósfera), con lo que la integral quedaría

U_\mathrm{e}=\int \mathrm{d}\Omega \int_{R_T}^{R_T+H} \!\!\!\!\mathrm{d}r\,r^2\left(\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\right)

La integral sobre las variables angulares proporciona un factor 4π, mientras que, para la coordenada radial, podemos introducir la variable z = r − RT y escribir

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}4\pi\varepsilon_0 \int_0^H (R_T+z)^2 E^2\,\mathrm{d}z

En esta integral z\ll R_T (ya que z sería como mucho 100 km y RT = 6370 km), por lo que podemos despreciar z en el primer factor. En el segundo factor, E2, en cambio, la dependencia en z no puede eliminarse. Queda entonces la expresión

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}4\pi\varepsilon_0 R_T^2 \int_0^H E^2\,\mathrm{d}z

Ahora, en esta integral, el rápido decaimiento del campo hace que sea prácticamente nulo para valores de $z$ mayores que 10 km. Por ello, puede sustituirse el límite superior por infinito y escribir la expresión empleada

W=\frac{1}{2}4\pi\varepsilon_0 R_T^2 \int_0^\infty E^2\,dz

Un cálculo exacto, manteniendo la dependencia radial en el jacobiano, muestra que el error cometido al hacer estas aproximaciones es del 0.04%

2.6 Tiempo de descarga atmósferica

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Corrientes_atmosf%C3%A9ricas"

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