Corrientes atmosféricas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

La resistividad del aire en la atmósfera decrece exponencialmente con la altura como

$\sigma^{-1}=r=r_1 \mathrm{e}^{-\alpha_1 z}+ r_2 \mathrm{e}^{-\alpha_2 z}+r_3 \mathrm{e}^{-\alpha_3 z}\,$

donde

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline i & r_i\ (10^{12}\,\Omega{\cdot}{\rm m}) & \alpha_i ({\rm km}^{-1}) \\ \hline \hline 1 & 46.9 & 4.527\\ \hline 2 & 22.2 & 0.375 \\ \hline 3 & 5.9 & 0.121 \\\hline \end{array}$

El campo eléctrico en zonas despejadas de la superficie de la Tierra vale $E_0=-100\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ . Este campo es prácticamente constante y va siempre en la dirección vertical.

A partir de estos datos halle

El valor del campo eléctrico para un punto situado entre la superficie de la Tierra y la ionosfera ( $z = 100\,\mathrm{km}$ ).
La diferencia de potencial entre la superficie y la ionosfera.
La distribución de cargas en la atmósfera.
La corriente total que llega a la superficie de la Tierra.
La potencia necesaria para mantener esta corriente estacionaria
Estime el tiempo que tardaría la atmósfera en descargarse si no existiera un mecanismo generador

2 Solución

2.1 Campo eléctrico en el aire

Si el estado es estacionario se cumplirá que

$\nabla{\cdot}\mathbf{J}=0$

Si además consideramos que la dirección de la densidad de corriente es perpendicular al suelo (que es un conductor perfecto), nos queda $\mathbf{J}=J\mathbf{u}_{z}$ , y la ecuación anterior se reduce a

$\frac{\partial{}J}{\partial{}z}=0$ $\Rightarrow$

J = J 0 = cte

La densidad de corriente es uniforme. A partir de este dato podemos obtener el campo en cualquier punto de la atmósfera

$E=\frac{J}{\sigma}=J_0r(z)=J_0\sum_ir_i\mathrm{e}^{-\alpha_iz}$

El valor de $J 0$ lo sacamos del valor del campo y de la resistividad en la superficie

$E_0=J_0\sum_ir_i\quad\Rightarrow\quad J_0=\frac{E_0}{r_1+r_2+r_3}= -1.33\times 10^{-12} \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}^2}$

El campo en función de la altura queda entonces

$E(z)=\sum_i E_i \mathrm{e}^{-\alpha_i z}\qquad E_i= \frac{E_0r_i}{r_1+r_2+r_3}$

Los valores de los coeficientes son

$E_1=-62.5\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}$ $E_2=-29.6\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}$ $E_3=-7.9\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}$

Según esto, la principal contribución al campo es la que decae más rápidamente.

2.2 Diferencia de potencial entre la superficie y la ionosfera

La diferencia de potencial la obtenemos integrando el campo eléctrico entre el suelo y la ionosfera

$V_H-V_0=-\int_{0}^{H}E\,dz=-\sum_i \frac{E_i}{\alpha_i}\left(1-\mathrm{e}^{-\alpha_iH}\right)$

Para todas las exponenciales el valor $\alpha_iH$ es tan grande que podemos despreciar la exponencial correspondiente, resultando la expresión para el potencial

$V_H-V_0\simeq -\sum_i\frac{E_i}{\alpha_i}= 157.8\,\mathrm{kV}\sim 160\,\mathrm{kV}$

Experimentalmente se comprueba que este valor puede fluctuar notablemente y suele llegar hasta los 200 kV.

2.3 Distribución de cargas

La distribución de cargas es inmediata a partir del campo eléctrico

$\rho=\varepsilon_0\nabla{\cdot}\mathbf{E}=\varepsilon_0\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}z}=-\sum_i(\varepsilon_0 E_i\alpha_i)\mathrm{e}^{-\alpha_iz}$

La mayor concentración de cargas se da junto la superficie terrestre y vale

$\rho(z=0)=2.6\times 10^{-12}\,\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{m}^3}$

Esta densidad de carga disminuye rápidamente con la altura. A 100 m se ha reducido a la mitad y a 1 km es la centésima parte de su valor en la superficie.

Sobre la superficie habrá una densidad de carga igual al salto en la componente normal del vector desplazamiento

$\sigma_s=\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{D}]=\varepsilon_0 E_0=-8.9\times 10^{-10}\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{m}^2}$

lo que supone una carga total en la superficie de la Tierra

$Q_s=\int \sigma_s \,\mathrm{d}S=4\pi R_T^2\sigma_s\simeq -4.5\,\mathrm{mC}$

2.4 Corriente que llega a la superficie

La intensidad de corriente total se obtiene a partir de la densidad de corriente que ya conocemos

$I=\int\mathbf{J}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=4\pi R_T^2J_0\simeq -670\,\mathrm{A}$

Estos aproximadamente 700 A representan cargas que llegan de forma continua a la tierra y que, dado el estado estacionario del sistema, deben ser repuestas a la atmósfera por algún mecanismo generador.

El cálculo de la intensidad permite hallar la resistencia global de la atmósfera

$R=\frac{V}{I}=230\,\Omega$

2.5 Energía eléctrica almacenada en la atmósfera

La energía total almacenada es

$U_\mathrm{e}=\int \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\,d\tau=\frac{1}{2}4\pi \varepsilon_0 R_T^2\int_0^{\infty}\left(\sum _i E_i \mathrm{e}^{-\alpha_i z}\right)^2\mathrm{d}z = \frac{1}{2}4\pi \varepsilon_0 R_T^2\sum_{i,j}\frac{E_iE_j}{\alpha_i+\alpha_j} =1.9\times 10^{12}\,\mathrm{J}\simeq 2\,\mathrm{TJ}$

El dominio de integración de la integral anterior merece un pequeño comentario. En principio la integral debería hacerse sobre una corona esférica de radio menor $R T$ y radio mayor $R T + H$ (siendo $H\sim 100\,\mathrm{km}$ el espesor típico de la atmósfera), con lo que la integral quedaría

$U_\mathrm{e}=\int \mathrm{d}\Omega \int_{R_T}^{R_T+H} \!\!\!\!\mathrm{d}r\,r^2\left(\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\right)$

La integral sobre las variables angulares proporciona un factor $4π$ , mientras que, para la coordenada radial, podemos introducir la variable $z = r - R T$ y escribir

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}4\pi\varepsilon_0 \int_0^H (R_T+z)^2 E^2\,\mathrm{d}z$

En esta integral $z\ll R_T$ (ya que $z$ sería como mucho 100 km y $R T =$ 6370 km), por lo que podemos despreciar $z$ en el primer factor. En el segundo factor, $E 2$ , en cambio, la dependencia en $z$ no puede eliminarse. Queda entonces la expresión

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}4\pi\varepsilon_0 R_T^2 \int_0^H E^2\,\mathrm{d}z$

Ahora, en esta integral, el rápido decaimiento del campo hace que sea prácticamente nulo para valores de $z$ mayores que 10 km. Por ello, puede sustituirse el límite superior por infinito y escribir la expresión empleada

$W=\frac{1}{2}4\pi\varepsilon_0 R_T^2 \int_0^\infty E^2\,dz$

Un cálculo exacto, manteniendo la dependencia radial en el jacobiano, muestra que el error cometido al hacer estas aproximaciones es del 0.04%

2.6 Potencia disipada en la atmósfera

La potencia necesaria para mantener este estado estacionario viene dada por

$P=\int \mathbf{J}{\cdot}\mathbf{E}\, d\tau=\int J_0 E\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}S=IV\simeq 114\,\mathrm{MW}$

El mismo mecanismo generador que aporta las cargas debe desarrollar una potencia de unos 100 MW. Esta potencia, aunque no es excesiva, sí sorprende por su carácter estacionario, apenas sujeto a fluctuaciones.

2.7 Tiempo de descarga atmósferica

Por último, el tiempo de descarga en ausencia de generadores en el sistema depende del punto, ya que, al no ser la atmósfera homogénea, el proceso de descarga es complejo. Podemos estimar, sin embargo, que el tiempo de relajación en cada punto viene dado por

$\tau(z)\sim \frac{\varepsilon_0}{\sigma(z)}=\varepsilon_0 r(z)$

El valor máximo de este tiempo se obtiene donde la resistividad es mayor, esto es, sobre la superficie terrestre. En $z = 0$ se obtiene un tiempo

$\tau_0\simeq 660\,\mathrm{s}=11\,\mathrm{min.}$

2.8 Conclusión

Así pues, el mecanismo generador debe aportar 700 A, desarrollar una potencia de 100 MW y tener fluctuaciones que no superen los diez minutos, después de las cuales la atmósfera se habría descargado. Dicho mecanismo es aún objeto de discusión, si bien la teoría más aceptada apunta a las nubes de tormenta como el generador del sistema. Según esta teoría, debida a Wilson, en las zonas tormentosas se produce una separación de cargas, causada por un mecanismo ionizante, que puede ser un proceso químico o un agente externo, como los rayos cósmicos. Las corrientes internas de las nubes, así como la diferente movilidad de los iones positivos y negativos hace que las cargas se sitúen en zonas diferentes de la nube, evitando su recombinación.

Esto genera altas diferencias de potencial entre las nubes y el suelo o entre distintas nubes, provocando rayos. Estos rayos, no obstante, supondrían las más de las veces un proceso de descarga (cuando el rayo se produce dentro de la propia nube) y no de carga (cuando es entre la nube y tierra). Se supone que debe haber algún mecanismo adicional de bombeo que extraiga los iones positivos de la nube y los lleve a la ionosfera, desde donde pueden fluir a la superficie por las zonas despejadas, estableciéndose el circuito descrito en el problema.

Corrientes atmosféricas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Solución

2.1 Campo eléctrico en el aire

2.2 Diferencia de potencial entre la superficie y la ionosfera

2.3 Distribución de cargas

2.4 Corriente que llega a la superficie

2.5 Energía eléctrica almacenada en la atmósfera

2.6 Potencia disipada en la atmósfera

2.7 Tiempo de descarga atmósferica

2.8 Conclusión

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