Ejemplo de diferentes estados de movimiento

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 10:31 4 ago 2010

1 Enunciado

Los vectores de posición y las velocidades de tres puntos de un sólido son, en el SI,

$\begin{array}{rclcrcl} \overrightarrow{OA}&=&\vec{\imath}&\qquad & \vec{v}^A & = & 2\vec{\imath}+a\vec{\jmath}+b\vec{k}\\ \overrightarrow{OB}&=&\vec{\jmath}&\qquad & \vec{v}^B& = & c\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+d\vec{k}\\ \overrightarrow{OC}&=&\vec{k}&\qquad & \vec{v}^C&=&e\vec{\imath}+f\vec{\jmath}+2\vec{k} \end{array}$

¿Qué restricciones impone la condición de rigidez a los valores de las incógnitas $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ y $f$ ?
Halle los valores de estos parámetros si el sólido se encuentra en un estado de traslación instantáneo.
Establezca la condición que deben cumplir las constantes si el estado de movimiento es una rotación pura.

2 Condición de rigidez

La condición cinemática de rigidez implica la equiproyectividad del campo de velocidades:

$\vec{v}^P\cdot\overrightarrow{PQ}=\vec{v}^Q\cdot\overrightarrow{PQ}$

Aplicando esto a cada uno de los pares de puntos del enunciado tenemos, para los puntos A y B

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=-\vec{\imath}+\vec{\jmath}$ $\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AB}=-2+a$ $\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{AB}=-c+2$ $\Rightarrow$ $a+c=4\,$

Repitiendo para A y C

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=-\vec{\imath}+\vec{k}$ $\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AC}=-2+b$ $\vec{v}^C\cdot\overrightarrow{AC}=-e+2$ $\Rightarrow$ $b+e=4\,$

y para B y C

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=-\vec{\jmath}+\vec{k}$ $\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{BC}=-2+d$ $\vec{v}^C\cdot\overrightarrow{BC}=2-f$ $\Rightarrow$ $d+f=4\,$

Los parámetros deben cumplir las condiciones

$\begin{matrix} a&+&c & = & 4 \\ b&+&e & = & 4 \\ d&+&f & = & 4 \end{matrix}$

Podemos simplificar la notación haciendo

$a = 2+\gamma\qquad c = 2-\gamma$ $b = 2-\beta\qquad e = 2+\beta$ $d = 2+\alpha\qquad f = 2-\alpha$

de manera que las velocidades quedan

$\begin{array}{rclcrcl} \overrightarrow{OA}&=&\vec{\imath}&\qquad & \vec{v}^A & = & 2\vec{\imath}+(2+\gamma)\vec{\jmath}+(2-\beta)\vec{k}\\ \overrightarrow{OB}&=&\vec{\jmath}&\qquad & \vec{v}^B& = & (2-\gamma)\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+(2+\alpha)\vec{k}\\ \overrightarrow{OC}&=&\vec{k}&\qquad & \vec{v}^C&=&(2+\beta)\vec{\imath}+(2-\alpha)\vec{\jmath}+2\vec{k} \end{array}$

Ejemplo de diferentes estados de movimiento

De Laplace

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1 Enunciado

2 Condición de rigidez

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@@ Línea 46: / Línea 46: @@
 <center><math>a = 2+\gamma\qquad c = 2-\gamma</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>b = 2-\beta\qquad e = 2+\beta</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>d = 2+\alpha\qquad f = 2-\alpha</math></center>
+de manera que las velocidades quedan
+<center><math>
+\begin{array}{rclcrcl}
+\overrightarrow{OA}&=&\vec{\imath}&\qquad &
+\vec{v}^A & = & 2\vec{\imath}+(2+\gamma)\vec{\jmath}+(2-\beta)\vec{k}\\
+\overrightarrow{OB}&=&\vec{\jmath}&\qquad &
+\vec{v}^B& = & (2-\gamma)\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+(2+\alpha)\vec{k}\\
+\overrightarrow{OC}&=&\vec{k}&\qquad &
+\vec{v}^C&=&(2+\beta)\vec{\imath}+(2-\alpha)\vec{\jmath}+2\vec{k}
+\end{array}
+</math></center>
 [[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido]]