Vaciado de un depósito cilíndrico

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 21:29 12 jul 2010

Contenido

1 Enunciado
2 Presión del aire
3 Velocidad de salida
4 Vaciado parcial
5 Valores numéricos

1 Enunciado

Se tiene un recipiente cilíndrico de radio $R$ y altura $H$ abierto a la atmósfera, que se llena hasta una altura $h = H / 2$ de mercurio. Entonces, se cierra herméticamente por su parte superior, quedando una cámara de aire entre el mercurio y la tapa. En la parte inferior del recipiente se abre un pequeño orificio de radio $a$ .

Suponiendo que el aire dentro del recipiente se comporta como un gas ideal y que su temperatura permanece constante, encuentra la presión del aire cuando el mercurio llega hasta una altura $z$ .
Halla la expresión que da la velocidad con la que sale el mercurio cuando el nivel superior del mercurio está a una altura $z$
¿Puede vaciarse completamente el recipiente? Si no es así, encuentra la ecuación que da la altura final del mercurio en el recipiente.
Supón que $H = 150\,\mathrm{cm}$ , $R = 50.0\,\mathrm{cm}$ , $a = 5.0\,\mathrm{mm}$ y $\rho_\mathrm{Hg} = 13.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^3$ . Calcula el valor numérico del apartado anterior y la cantidad de mercurio que ha salido del recipiente.

2 Presión del aire

Cuando el depósito se va vaciando, el tamaño de la cámara de aire va aumentando. Al aumentar el volumen, manteniéndose constante la temperatura, disminuye la presión, cumpliéndose la ley de Boyle

$pV = \mathrm{cte}\,$

El volumen es inicialmente el de un cilindro de altura $H / 2$ y posteriormente $H / 2 + z$ , por lo que la presión es

$p(z) = \frac{p_0V_0}{V(z)} = \frac{p_0AH/2}{A(H/2+z)} = \frac{p_0H}{H+2z}$

La diferencia de presiones entre el extremo inferior, abierto a la atmósfera, y el nivel superior es

$p_0-p(z) = \frac{2p_0z}{H+2z}$

3 Velocidad de salida

Podemos calcular la velocidad de salida aplicando la ley de Bernouilli.

$p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \mathrm{cte.}$

Igualando el valor de esta cantidad en 0 y en z, obtenemos

$p(z) + \frac{1}{2}\rho v(z)^2 + \rho g z = p_0 +\frac{1}{2}\rho v_0^2$

La velocidad con la que desciende el nivel del depósito es mucho menor que la que tiene el líquido que sale por el agujero, ya que por la ley de conservación de la masa