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Trabajo en distintos procesos

De Laplace

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(→Solución)
(→Proceso isotermo)
 
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== Enunciado ==
== Enunciado ==
Un mol de un gas ideal está contenido en un cilindro que tiene un émbolo móvil.  
Un mol de un gas ideal está contenido en un cilindro que tiene un émbolo móvil.  
La presión, volumen y temperatura iniciales son <math>P_i, V_i, T_i</math>,  
La presión, volumen y temperatura iniciales son <math>P_i, V_i, T_i</math>,  
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respectivamente. Calcule el trabajo realizado sobre el gas para los siguientes  
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respectivamente. Calcula el trabajo realizado sobre el gas para los siguientes  
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procesos, y dibuje cada uno de ellos en un diagrama <math>PV</math>
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procesos, y dibuja cada uno de ellos en un diagrama <math>PV</math>
#Una compresión isobárica en la que el volumen final sea la mitad del volumen inicial
#Una compresión isobárica en la que el volumen final sea la mitad del volumen inicial
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#Un proceso isócoro en el que la presión final sea el triple de la inicial.
#Un proceso isócoro en el que la presión final sea el triple de la inicial.
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== Solución ==
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==Introducción ==
En general, el trabajo realizado sobre un sistema hidrostático en un proceso
En general, el trabajo realizado sobre un sistema hidrostático en un proceso
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función del volumen. Examinemos cada uno de los procesos propuestos en el  
función del volumen. Examinemos cada uno de los procesos propuestos en el  
enunciado
enunciado
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=== Proceso isobárico ===
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== Proceso isobárico ==
En este caso la presión se mantiene constante e igual a la inicial. Los estados
En este caso la presión se mantiene constante e igual a la inicial. Los estados
inicial y final son
inicial y final son
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del gas. Esto es siempre así en una compresión.
del gas. Esto es siempre así en una compresión.
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=== Proceso isotermo ===
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== Proceso isotermo ==
En este caso la presión varía al realizar el proceso, pero la ecuación  
En este caso la presión varía al realizar el proceso, pero la ecuación  
de estado del gas ideal nos da la relación entre presión y volumen. Tenemos
de estado del gas ideal nos da la relación entre presión y volumen. Tenemos
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De nuevo el trabajo es positivo y puede observarse que el mayor que el  
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De nuevo el trabajo es positivo y puede observarse que es mayor que el  
obtenido en el proceso isobárico.
obtenido en el proceso isobárico.
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===Proceso isócoro===
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==Proceso isócoro==
En este caso, al no haber cambio de volumen, no hay trabajo realizado sobre
En este caso, al no haber cambio de volumen, no hay trabajo realizado sobre
el gas. Tenemos entonces
el gas. Tenemos entonces
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[[Categoría:Problemas del gas ideal]]

última version al 18:00 11 may 2010

Contenido

1 Enunciado

Un mol de un gas ideal está contenido en un cilindro que tiene un émbolo móvil. La presión, volumen y temperatura iniciales son Pi,Vi,Ti, respectivamente. Calcula el trabajo realizado sobre el gas para los siguientes procesos, y dibuja cada uno de ellos en un diagrama PV

  1. Una compresión isobárica en la que el volumen final sea la mitad del volumen inicial
  2. Una compresión isotérmica en la que la presión final se cuatro veces la inicial
  3. Un proceso isócoro en el que la presión final sea el triple de la inicial.

2 Introducción

En general, el trabajo realizado sobre un sistema hidrostático en un proceso cuasiestático entre los estados 1 y 2 es

W_{12}=-\int\limits_1^2P\mathrm{d} V

Para poder calcular esta integral hay que saber como varía la presión en función del volumen. Examinemos cada uno de los procesos propuestos en el enunciado

3 Proceso isobárico

En este caso la presión se mantiene constante e igual a la inicial. Los estados inicial y final son

\begin{array}{c|c} \begin{array}{c} \mathrm{Estado\,1}\\P_1=P_i\\V_1=V_i\\T_1=T_i \end{array}& \begin{array}{c} \mathrm{Estado\,2}\\P_2=P_i\\V_2=V_i/2\\T_2=? \end{array} \end{array}

Como el proceso es a presión constante, ésta puede sacarse de la integral. Tenemos entonces

W_{12}=-\int\limits_1^2P_i\mathrm{d}V=-P_i\int\limits_1^2\mathrm{d}V= -P_i(V_2-V_1)=P_iV_i/2

El trabajo es positivo, es decir, contribuye a aumentar la energía interna del gas. Esto es siempre así en una compresión.

4 Proceso isotermo

En este caso la presión varía al realizar el proceso, pero la ecuación de estado del gas ideal nos da la relación entre presión y volumen. Tenemos

PV=nRT\Rightarrow P=\frac{nRT}{V}

Los estados inicial y final son

\begin{array}{c|c} \begin{array}{c} \mathrm{Estado\,1}\\P_1=P_i\\V_1=V_i\\T_1=T_i \end{array}& \begin{array}{c} \mathrm{Estado\,2}\\P_2=4P_i\\V_2=?\\T_2=T_i \end{array} \end{array}

EL trabajo es

W_{12}=-\int\limits_1^2P\mathrm{d}V=-\int\limits_1^2nRT_i\frac{\mathrm{d}V}{V}= -nRT_i\int\limits_1^2\frac{\mathrm{d}V}{V}= -nRT_i\ln\frac{V_2}{V_1}

Hemos usado que la temperatura es constante y por tanto puede salir de la integral. No tenemos el volumen inicial, pero podemos expresar el trabajo en función de las presiones usando la ley de Boyle. Como el proceso es isotermo se cumple

P_1V_1=P_2V_2\Rightarrow \frac{V_2}{V_1}=\frac{P_1}{P_2}

y el trabajo se puede expresar como

W_{12}=-nRT_i\ln\frac{P_1}{P_2}=nRT_i\ln\frac{P_2}{P_1}

Para comparar con el resultado anterior usamos la ecuación de estado para expresar la temperatura en función de la presión y volumen iniciales

W_{12}=P_iV_i\ln\frac{4P_i}{P_i}=2\ln2P_iV_i

De nuevo el trabajo es positivo y puede observarse que es mayor que el obtenido en el proceso isobárico.

5 Proceso isócoro

En este caso, al no haber cambio de volumen, no hay trabajo realizado sobre el gas. Tenemos entonces

W12 = 0

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Trabajo_en_distintos_procesos"

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