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Microtira situada entre dos placas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Nueva página: ==Enunciado== Sobre una placa metálica plana, de sección <math>S</math> (que supondremos en <math>z=0</math>), se coloca una capa de dieléctrico de permitividad <math>\varepsilon_1...)
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Si las placas inferior, intermedia y superior se colocan, respectivamente, a potenciales <math>V_1</math>, <math>V_2</math> y <math>V_3</math>, ¿Cuánto vale la carga (libre) almacenada en cada conductor? Desprecie totalmente los efectos de borde (suponiendo <math>\mathbf{E}=E\mathbf{u}_{z}</math>) y los posibles campos exteriores al sistema.
Si las placas inferior, intermedia y superior se colocan, respectivamente, a potenciales <math>V_1</math>, <math>V_2</math> y <math>V_3</math>, ¿Cuánto vale la carga (libre) almacenada en cada conductor? Desprecie totalmente los efectos de borde (suponiendo <math>\mathbf{E}=E\mathbf{u}_{z}</math>) y los posibles campos exteriores al sistema.
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==Solución==
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La forma más simple de abordar este problema es por medio del circuito equivalente.
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La configuración del sistema permite dividir el espacio entre las placas en cuatro regiones:
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<li> La región de sección $S_0$ y espesor $a$, comprendida entre la placa inferior y la región intermedia.</li>
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<li> La de sección $S_0$ y espesor $b$, situada entre la placa intermedia y la superior.</li>
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<li> La de sección $S-S_0$ y espesor $a$ situada entre la placa inferior y la interfaz entre los dos dieléctricos. Nótese que esta región comprende las partes del dieléctrico situadas a izquierda y derecha de la placa intermedia, ya que son completamente análogas.</li>
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<li> La de sección $S-S_0$ situada entre la interfaz y la placa superior.</li>
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Si despreciamos completamente los efectos de borde en el sistema y consideramos que el campo en cada una de las regiones va en la dirección $\mathbf{u}_{z}$, cada zona se comporta como un condensador de placas planas y paralelas, siendo las respectivas capacidades
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<center><math>C_\mathrm{I} = \frac{\varepsilon_1S_0}{a}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>C_\mathrm{II} = \frac{\varepsilon_2S_0}{b}</math>{{qquad}}{{qquad}} <math>C_\mathrm{III}= \frac{\varepsilon_1(S-S_0)}{a}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>C_\mathrm{IV}= \frac{\varepsilon_2(S-S_0)}{b}</math></center>
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El circuito equivalente al sistema está formado en primer lugar, por un nodo que representa a cada conductor. Llamaremos nodo $1$ a la placa inferior, $2$ a la intermedia, y $3$ a la superior. Entre los nodos $1$ y $2$ se encuentra el condensador $C_\mathrm{I}$, mientras que el $C_\mathrm{II}$ se encuentra situado entre el conductor $2$ y el $3$. Entre las placas $1$ y $3$ el condensador está formado por una
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asociación en serie de los condensadores $C_\mathrm{III}$ y $C_\mathrm{IV}$.
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Con esto tenemos la siguientes capacidades
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<center><math>\overline{C}_{12}= \frac{\varepsilon_1S_0 }{a}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overline{C}_{23}= \frac{\varepsilon_2S_0 }{b}</math>{{qquad}}<math>\overline{C}_{13}= \frac{C_\mathrm{III}C_\mathrm{IV}}{C_\mathrm{III}+C_\mathrm{IV}}= \frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0) }{\varepsilon_1b+\varepsilon_1a}</math></center>
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Las autocapacidades <math>\overline{C}_{ii}</math> son todas nulas, ya que despreciamos los campos exteriores al sistema.
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Estas capacidades pueden determinarse detalladamente como se indica en otros problemas.
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Con esto, resultan las relaciones entre las cargas y los potenciales. Para la placa inferior tenemos
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<center><math>Q_1=\overline{C}_{12} (V_1-V_2) + \overline{C}_{13}(V_1-V_3) =
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\frac{\varepsilon_1S_0}{a}(V_1-V_2)+\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}(V_1-V_3)=</math>
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-\left(\frac{\varepsilon_1S_0}{a}\right)V_2-\left(\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}\right)V_3
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Para la intermedia
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<center><math>Q_2=\overline{C}_{12} (V_2-V_1) + \overline{C}_{23}(V_2-V_3) = \frac{\varepsilon_1S_0}{a}(V_2-V_1)+\frac{\varepsilon_2S_0}{b}(V_2-V_3)=</math><math>-\left(\frac{\varepsilon_1S_0}{a}\right)V_1
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+\left(\frac{\varepsilon_1S_0}{a}+\frac{\varepsilon_2S_0}{b}\right)V_2-
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\left(\frac{\varepsilon_2S_0}{b}\right)V_3</math></center>
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Y para la superior
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<center><math>Q_3=\overline{C}_{13} (V_3-V_1) + \overline{C}_{23}(V_3-V_2) =
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\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}(V_3-V_1)+\frac{\varepsilon_2S_0}{b}(V_3-V_2)=</math><math>-\left(\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}\right)V_1
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-\left(\frac{\varepsilon_2S_0}{b}\right)V_2
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+\left(\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}+\frac{\varepsilon_2S_0}{b}\right)V_3</math></center>
[[Categoría:Problemas de materiales dieléctricos]]
[[Categoría:Problemas de materiales dieléctricos]]

Revisión de 12:12 4 may 2010

1 Enunciado

Sobre una placa metálica plana, de sección S (que supondremos en z = 0), se coloca una capa de dieléctrico de permitividad \varepsilon_1 con espesor a. Sobre esta capa se sitúa una lámina metálica, de sección S0 < S, el resto de la superficie se deja libre y descargado. Se superpone una segunda capa de dieléctrico de permitividad \varepsilon_2 y espesor b. Por último, el sistema se cierra con una segunda lámina metálica de sección S.

Si las placas inferior, intermedia y superior se colocan, respectivamente, a potenciales V1, V2 y V3, ¿Cuánto vale la carga (libre) almacenada en cada conductor? Desprecie totalmente los efectos de borde (suponiendo \mathbf{E}=E\mathbf{u}_{z}) y los posibles campos exteriores al sistema.

2 Solución

La forma más simple de abordar este problema es por medio del circuito equivalente.

La configuración del sistema permite dividir el espacio entre las placas en cuatro regiones:

  1. La región de sección $S_0$ y espesor $a$, comprendida entre la placa inferior y la región intermedia.
  2. La de sección $S_0$ y espesor $b$, situada entre la placa intermedia y la superior.
  3. La de sección $S-S_0$ y espesor $a$ situada entre la placa inferior y la interfaz entre los dos dieléctricos. Nótese que esta región comprende las partes del dieléctrico situadas a izquierda y derecha de la placa intermedia, ya que son completamente análogas.
  4. La de sección $S-S_0$ situada entre la interfaz y la placa superior.


Si despreciamos completamente los efectos de borde en el sistema y consideramos que el campo en cada una de las regiones va en la dirección $\mathbf{u}_{z}$, cada zona se comporta como un condensador de placas planas y paralelas, siendo las respectivas capacidades

C_\mathrm{I} = \frac{\varepsilon_1S_0}{a}        C_\mathrm{II} = \frac{\varepsilon_2S_0}{b}         C_\mathrm{III}= \frac{\varepsilon_1(S-S_0)}{a}        C_\mathrm{IV}= \frac{\varepsilon_2(S-S_0)}{b}

El circuito equivalente al sistema está formado en primer lugar, por un nodo que representa a cada conductor. Llamaremos nodo $1$ a la placa inferior, $2$ a la intermedia, y $3$ a la superior. Entre los nodos $1$ y $2$ se encuentra el condensador $C_\mathrm{I}$, mientras que el $C_\mathrm{II}$ se encuentra situado entre el conductor $2$ y el $3$. Entre las placas $1$ y $3$ el condensador está formado por una asociación en serie de los condensadores $C_\mathrm{III}$ y $C_\mathrm{IV}$.

Con esto tenemos la siguientes capacidades

\overline{C}_{12}= \frac{\varepsilon_1S_0 }{a}        \overline{C}_{23}= \frac{\varepsilon_2S_0 }{b}    \overline{C}_{13}= \frac{C_\mathrm{III}C_\mathrm{IV}}{C_\mathrm{III}+C_\mathrm{IV}}= \frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0) }{\varepsilon_1b+\varepsilon_1a}

Las autocapacidades \overline{C}_{ii} son todas nulas, ya que despreciamos los campos exteriores al sistema.

Estas capacidades pueden determinarse detalladamente como se indica en otros problemas.

Con esto, resultan las relaciones entre las cargas y los potenciales. Para la placa inferior tenemos

Q_1=\overline{C}_{12} (V_1-V_2) + \overline{C}_{13}(V_1-V_3) =
\frac{\varepsilon_1S_0}{a}(V_1-V_2)+\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}(V_1-V_3)= \left(\frac{\varepsilon_1S_0}{a}+\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}\right)V_1
-\left(\frac{\varepsilon_1S_0}{a}\right)V_2-\left(\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}\right)V_3

Para la intermedia

Q_2=\overline{C}_{12} (V_2-V_1) + \overline{C}_{23}(V_2-V_3) = \frac{\varepsilon_1S_0}{a}(V_2-V_1)+\frac{\varepsilon_2S_0}{b}(V_2-V_3)=-\left(\frac{\varepsilon_1S_0}{a}\right)V_1
+\left(\frac{\varepsilon_1S_0}{a}+\frac{\varepsilon_2S_0}{b}\right)V_2-
\left(\frac{\varepsilon_2S_0}{b}\right)V_3

Y para la superior

Q_3=\overline{C}_{13} (V_3-V_1) + \overline{C}_{23}(V_3-V_2) =
\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}(V_3-V_1)+\frac{\varepsilon_2S_0}{b}(V_3-V_2)=-\left(\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}\right)V_1
-\left(\frac{\varepsilon_2S_0}{b}\right)V_2
+\left(\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}+\frac{\varepsilon_2S_0}{b}\right)V_3

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