Pulso en una cuerda

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 22:27 26 mar 2010

1 Enunciado

Los puntos de una cuerda horizontal se mueven verticalmente, de forma que el perfil de la cuerda tiene la forma

$y = \frac{1}{0.01x^2-0.6tx+9t^2+1}$

donde $x$ e $y$ se miden en centímetros y $t$ en segundos.

Halle la velocidad de esta onda.
Demuestre que esta señal cumple la ecuación de onda.
Calcule la velocidad del punto de la cuerda situado en $x$ = 15 cm, en (a) $t$ = 0 s, (b) $t$ = 0.5 s, (c) $t$ = 1 s.

2 Solución

Podemos resolver los dos primeros apartados simultáneamente. Si calculamos la segunda derivada respecto a $x$ la segunda derivada respecto a $t$ y obtenemos que ambas son proporcionales

$\frac{\partial y^2}{\partial x^2}=K\frac{\partial y^2}{\partial t^2}$

entonces podemos afirmar que verifica la ecuación de onda y además que

$K=\frac{1}{v^2}$ $\Rightarrow$ $v = \frac{1}{\sqrt{K}}$

Antes de empezar a derivar, podemos obtener una expresión sin decimales si empleamos fracciones y escribimos la elongación como

$y = \frac{1}{x^2/100-6tx/10+9t^2+1}=\frac{100}{x^2-60tx+900t^2+100}$

Derivando una vez respecto a la posición

$\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{100(2x-60t)}{(x^2-60tx+900t^2+100)^2}$

Derivando una segunda vez

$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=-\frac{100(2)(x^2-60tx+900t^2+100)-100(2)(2x-60t)^2}{(x^2-60tx+900t^2+100)^3}$

Agrupando términos

$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{200(3x^2-180xt+2700t^2-100)}{(x^2-60tx+900t^2+100)^3}$

Derivando ahora respecto al tiempo

$\frac{\partial y}{\partial t}=-\frac{100(-60x+1800t)}{(x^2-60tx+900t^2+100)^2}$

Derivando de nuevo

$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-\frac{100(1800)(x^2-60tx+900t^2+100)-100(2)(-60x+1800t)^2}{(x^2-6tx+9t^2+1)^3}$

Agrupando términos

$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=\frac{180000(3x^2-180xt+2700t^2-100)}{(x^2-60tx+900t^2+100)^3}$

Comparando esta expresión con la segunda derivada respecto al tiempo vemos que son efectivamente proporcionales, cumpliéndose que

$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{200}{180000}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$

y por tanto la velocidad de la onda es

$v= \sqrt{\frac{180000}{200}}=\sqrt{900}= 30\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$

Las unidades de $v$ salen de dividir las unidades en las que medimos la coordenada $x$ entre las que usamos para el tiempo.

También podíamos haber llegado a este resultado por inspección, observando que el pulso se puede escribir en la forma

$y = \frac{1}{0.01(x-30t)^2+1}=\frac{100}{(x-30t)^2+100}$

que es un caso particular de la forma general

$y = f(x-vt)\,$

si hacemos

$v = 30\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$ $f(s)=\frac{100}{s^2+1}$

Por tratarse de una función de esta forma, automáticamente satisface la ecuación de onda y su velocidad es la constante $v$ = 30 m/s.

Para hallar la velocidad de un punto de la cuerda en concreto empleamos la derivada respecto al tiempo

$\frac{\partial y}{\partial t}=-\frac{100(-60x+1800t)}{(x^2-60tx+900t^2+100)^2}$

Sustituyendo $x$ = 15 cm

$\left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_{x=15}=-\frac{100(-900+1800t)}{(325-900t+900t^2)^2}$

Para los tres instantes indicados tenemos

t = 0.0 s

$\left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_{x=15,t=0.0}=-\frac{100(-900)}{(325)^2}=0.852\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$

t = 0.5 s

$\left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_{x=15,t=0.5}=-\frac{100(-900+1800/2)}{(325-900/2+900/4)^2}=0.000\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$

En este instante el punto se encuentra en el máximo del pulso y por ello su velocidad es nula.

t = 1.0 s

$\left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_{x=15,t=1.0}=-\frac{100(-900+1800)}{(325-900+900)^2}=-0.852\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$

En este instante, simétrico respecto al primero, la partícula se encuentra descendiendo y volviendo a su posición de equilibrio.

@@ Línea 11: / Línea 11: @@
 ==Solución==
+[[Imagen:pulso-cuerda-problema.gif|right]]
 Podemos resolver los dos primeros apartados simultáneamente. Si calculamos la segunda derivada respecto a <math>x</math> la segunda derivada respecto a <math>t</math> y obtenemos que ambas son proporcionales
@@ Línea 19: / Línea 22: @@
 <center><math>K=\frac{1}{v^2}</math>{{tose}} <math>v = \frac{1}{\sqrt{K}}</math></center>
-Antes de empezar a derivar, podemos obtener una expresión sin decimales si expresamos x en milímetros, lo que equivale a multiplicar el valor de x por 10 y escribir la elongación como
+Antes de empezar a derivar, podemos obtener una expresión sin decimales si empleamos fracciones y escribimos la elongación como
-<center><math>y = \frac{1}{x^2-6tx+9t^2+1}\qquad (y\ \mbox{en cm},\ x\ \mbox{en mm})</math></center>
+<center><math>y = \frac{1}{x^2/100-6tx/10+9t^2+1}=\frac{100}{x^2-60tx+900t^2+100}</math></center>
 Derivando una vez respecto a la posición
-<center><math>\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{2x-6t}{(x^2-6tx+9t^2+1)^2}</math></center>
+<center><math>\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{100(2x-60t)}{(x^2-60tx+900t^2+100)^2}</math></center>
 Derivando una segunda vez
-<center><math>\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=-\frac{2(x^2-6tx+9t^2+1)-2(2x-6t)^2}{(x^2-6tx+9t^2+1)^3}</math></center>
+<center><math>\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=-\frac{100(2)(x^2-60tx+900t^2+100)-100(2)(2x-60t)^2}{(x^2-60tx+900t^2+100)^3}</math></center>
 Agrupando términos
-<center><math>\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{2(3x^2-18xt+27t^2-1)}{(x^2-6tx+9t^2+1)^3}</math></center>
+<center><math>\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{200(3x^2-180xt+2700t^2-100)}{(x^2-60tx+900t^2+100)^3}</math></center>
 Derivando ahora respecto al tiempo
-<center><math>\frac{\partial y}{\partial t}=-\frac{-6x+18t}{(x^2-6tx+9t^2+1)^2}</math></center>
+<center><math>\frac{\partial y}{\partial t}=-\frac{100(-60x+1800t)}{(x^2-60tx+900t^2+100)^2}</math></center>
 Derivando de nuevo
-<center><math>\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-\frac{18(x^2-6tx+9t^2+1)-2(2x-6t)^2}{(x^2-6tx+9t^2+1)^3}</math></center>
+<center><math>\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-\frac{100(1800)(x^2-60tx+900t^2+100)-100(2)(-60x+1800t)^2}{(x^2-6tx+9t^2+1)^3}</math></center>
 Agrupando términos
-<center><math>\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=\frac{18(3x^2-18xt+27t^2-1)}{(x^2-6tx+9t^2+1)^3}</math></center>
+<center><math>\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=\frac{180000(3x^2-180xt+2700t^2-100)}{(x^2-60tx+900t^2+100)^3}</math></center>
 Comparando esta expresión con la segunda derivada respecto al tiempo vemos que son efectivamente proporcionales, cumpliéndose que
-<center><math>\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{1}{9}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}</math></center>
+<center><math>\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{200}{180000}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}</math></center>
 y por tanto la velocidad de la onda es
-<center><math>v= \sqrt{9}= 3\,\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}=0.3\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center>
+<center><math>v= \sqrt{\frac{180000}{200}}=\sqrt{900}= 30\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center>
 Las unidades de <math>v</math> salen de dividir las unidades en las que medimos la coordenada <math>x</math> entre las que usamos para el tiempo.
@@ Línea 59: / Línea 62: @@
 También podíamos haber llegado a este resultado por inspección, observando que el pulso se puede escribir en la forma
-<center><math>y = \frac{1}{(x-3t)^2+1}\qquad (x\ \mbox{en mm}) </math></center>
+<center><math>y = \frac{1}{0.01(x-30t)^2+1}=\frac{100}{(x-30t)^2+100}</math></center>
+que es un caso particular de la forma general
+<center><math>y = f(x-vt)\,</math></center>
+si hacemos
+<center><math>v = 30\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>f(s)=\frac{100}{s^2+1}</math></center>
+Por tratarse de una función de esta forma, automáticamente satisface la [[ecuación de onda]] y su velocidad es la constante <math>v</math> = 30&thinsp;m/s.
+Para hallar la velocidad de un punto de la cuerda en concreto empleamos la derivada respecto al tiempo
+<center><math>\frac{\partial y}{\partial t}=-\frac{100(-60x+1800t)}{(x^2-60tx+900t^2+100)^2}</math></center>
+Sustituyendo <math>x</math> = 15&thinsp;cm
+<center><math>\left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_{x=15}=-\frac{100(-900+1800t)}{(325-900t+900t^2)^2}</math></center>
+Para los tres instantes indicados tenemos
+;''t'' = 0.0&thinsp;s:
+<center><math>\left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_{x=15,t=0.0}=-\frac{100(-900)}{(325)^2}=0.852\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center>
+;''t'' = 0.5&thinsp;s:
+<center><math>\left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_{x=15,t=0.5}=-\frac{100(-900+1800/2)}{(325-900/2+900/4)^2}=0.000\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center>
+:En este instante el punto se encuentra en el máximo del pulso y por ello su velocidad es nula.
+;''t'' = 1.0&thinsp;s:
+<center><math>\left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_{x=15,t=1.0}=-\frac{100(-900+1800)}{(325-900+900)^2}=-0.852\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center>
-o si no cambiamos las unidades de x y empleamos la expresión original
+:En este instante, simétrico respecto al primero, la partícula se encuentra descendiendo y volviendo a su posición de equilibrio.
-<center><math>y = \frac{1}{(0.1x-3t)^2+1}\qquad (x\ \mbox{en mm}) </math></center>
 [[Categoría:Problemas de movimiento ondulatorio]]

Pulso en una cuerda

De Laplace

última version al 22:27 26 mar 2010

1 Enunciado

2 Solución

Herramientas:

Buscar

Vistas

Herramientas

Herramientas personales

Navegación

SEARCH

TOOLBOX

LANGUAGES