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Pulso en una cuerda

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Solución)
Línea 21: Línea 21:
Antes de empezar a derivar, podemos obtener una expresión sin decimales si expresamos x en milímetros, lo que equivale a multiplicar el valor de x por 10 y escribir la elongación como
Antes de empezar a derivar, podemos obtener una expresión sin decimales si expresamos x en milímetros, lo que equivale a multiplicar el valor de x por 10 y escribir la elongación como
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<center><math>y = \frac{1}{x^2-6tx+9t^2+1}\qquad (x\ \mbox{en mm})</math></center>
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<center><math>y = \frac{1}{x^2-6tx+9t^2+1}\qquad (y\ \mbox{en cm},\ x\ \mbox{en mm})</math></center>
Derivando una vez respecto a la posición
Derivando una vez respecto a la posición
Línea 34: Línea 34:
<center><math>\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{2(3x^2-18xt+27t^2-1)}{(x^2-6tx+9t^2+1)^3}</math></center>
<center><math>\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{2(3x^2-18xt+27t^2-1)}{(x^2-6tx+9t^2+1)^3}</math></center>
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Derivando ahora respecto al tiempo
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<center><math>\frac{\partial y}{\partial t}=-\frac{-6x+18t}{(x^2-6tx+9t^2+1)^2}</math></center>
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Derivando de nuevo
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<center><math>\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-\frac{18(x^2-6tx+9t^2+1)-2(2x-6t)^2}{(x^2-6tx+9t^2+1)^3}</math></center>
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Agrupando términos
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<center><math>\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=\frac{18(3x^2-18xt+27t^2-1)}{(x^2-6tx+9t^2+1)^3}</math></center>
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Comparando esta expresión con la segunda derivada respecto al tiempo vemos que son efectivamente proporcionales, cumpliéndose que
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<center><math>\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{1}{9}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}</math></center>
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y por tanto la velocidad de la onda es
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<center><math>v= \sqrt{9}= 3\,\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}=0.3\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center>
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Las unidades de <math>v</math> salen de dividir las unidades en las que medimos la coordenada <math>x</math> entre las que usamos para el tiempo.
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También podíamos haber llegado a este resultado por inspección, observando que el pulso se puede escribir en la forma
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<center><math>y = \frac{1}{(x-3t)^2+1}\qquad (x\ \mbox{en mm}) </math></center>
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o si no cambiamos las unidades de x y empleamos la expresión original
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<center><math>y = \frac{1}{(0.1x-3t)^2+1}\qquad (x\ \mbox{en mm}) </math></center>
[[Categoría:Problemas de movimiento ondulatorio]]
[[Categoría:Problemas de movimiento ondulatorio]]

Revisión de 20:58 26 mar 2010

1 Enunciado

Los puntos de una cuerda horizontal se mueven verticalmente, de forma que el perfil de la cuerda tiene la forma

y = \frac{1}{0.01x^2-0.6tx+9t^2+1}

donde x e y se miden en centímetros y t en segundos.

  1. Halle la velocidad de esta onda.
  2. Demuestre que esta señal cumple la ecuación de onda.
  3. Calcule la velocidad del punto de la cuerda situado en x = 15 cm, en (a) t = 0 s, (b) t = 0.5 s, (c) t = 1 s.

2 Solución

Podemos resolver los dos primeros apartados simultáneamente. Si calculamos la segunda derivada respecto a x la segunda derivada respecto a t y obtenemos que ambas son proporcionales

\frac{\partial y^2}{\partial x^2}=K\frac{\partial y^2}{\partial t^2}

entonces podemos afirmar que verifica la ecuación de onda y además que

K=\frac{1}{v^2}   \Rightarrow    v = \frac{1}{\sqrt{K}}

Antes de empezar a derivar, podemos obtener una expresión sin decimales si expresamos x en milímetros, lo que equivale a multiplicar el valor de x por 10 y escribir la elongación como

y = \frac{1}{x^2-6tx+9t^2+1}\qquad (y\ \mbox{en cm},\ x\ \mbox{en mm})

Derivando una vez respecto a la posición

\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{2x-6t}{(x^2-6tx+9t^2+1)^2}

Derivando una segunda vez

\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=-\frac{2(x^2-6tx+9t^2+1)-2(2x-6t)^2}{(x^2-6tx+9t^2+1)^3}

Agrupando términos

\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{2(3x^2-18xt+27t^2-1)}{(x^2-6tx+9t^2+1)^3}

Derivando ahora respecto al tiempo

\frac{\partial y}{\partial t}=-\frac{-6x+18t}{(x^2-6tx+9t^2+1)^2}

Derivando de nuevo

\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-\frac{18(x^2-6tx+9t^2+1)-2(2x-6t)^2}{(x^2-6tx+9t^2+1)^3}

Agrupando términos

\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=\frac{18(3x^2-18xt+27t^2-1)}{(x^2-6tx+9t^2+1)^3}

Comparando esta expresión con la segunda derivada respecto al tiempo vemos que son efectivamente proporcionales, cumpliéndose que

\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{1}{9}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}

y por tanto la velocidad de la onda es

v= \sqrt{9}= 3\,\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}=0.3\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}

Las unidades de v salen de dividir las unidades en las que medimos la coordenada x entre las que usamos para el tiempo.

También podíamos haber llegado a este resultado por inspección, observando que el pulso se puede escribir en la forma

y = \frac{1}{(x-3t)^2+1}\qquad (x\ \mbox{en mm})

o si no cambiamos las unidades de x y empleamos la expresión original

y = \frac{1}{(0.1x-3t)^2+1}\qquad (x\ \mbox{en mm})
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Pulso_en_una_cuerda"

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