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Propulsión solar

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Colisión perfectamente elástica)
(→Colisión perfectamente elástica)
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En términos de las celeridades
En términos de las celeridades
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Para obtener el estado final, despejamos y hallamos el módulo en una de las ecuaciones
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====Colisión completamente inelástica====
====Colisión completamente inelástica====

Revisión de 11:39 21 feb 2010

Contenido

1 Introducción

2 Fundamentos

2.1 Partículas y cuadrivectores

La cantidad de movimiento energía de una partícula puede describirse por el cuadrivector

\mathbf{P}=p^\mu=(\mathbf{p},E)

donde la parte espacial es la cantidad de movimiento ordinaria, y la parte temporal es la energía de la partícula. El módulo de este cuadrivector es el cuadrado de la masa en reposo de la partícula.

\mathbf{P}\cdot\mathbf{P}=p^\mu p_\mu = E^2 - |\mathbf{p}|^2 = m^2

En este problema, en que todo ocurre en una sola dimensión, la parte espacial se reduce a una sola componente

\mathbf{P}=p^\mu = (p,0,0,E)\,

por lo que podemos prescindir de la segunda y la tercera y escribir simplemente

\mathbf{P}=p^\mu = (p,E)\,

con el módulo

\mathbf{P}\cdot\mathbf{P}=p^\mu p_\mu = E^2-p^2 = m^2\,

2.2 Fotones

Los fotones individuales se pueden considerar como partículas de masa nula, por lo que el cuadrivector correspondiente será de la forma

\mathbf{P}= (\mathbf{p},|\mathbf{p}|)\,

que, en el caso unidimensional se reduce a

\mathbf{P} = (p,|p|)\,

De acuerdo con las relaciones de Einstein-de Broglie, la cantidad de movimiento y la energía de un fotón son proporcionales a su número de onda y a su frecuencia, respectivamente. En términos de los cuadrivectores

\mathbf{P}= \hbar \mathbf{K}   \Rightarrow   (\mathbf{p},E) = \hbar(\mathbf{k},\omega)

cumpliéndose la relación

0 = \mathbf{K}\cdot\mathbf{K} = \omega^2 - |\mathbf{k}|^2\,   \Rightarrow    \omega = |\mathbf{k}|\,

En el caso unidimensional, el cuadrivector número de onda será

\mathbf{K} = (k,|k|)\,

2.3 Transformaciones de Lorentz

Una transformación de Lorentz en la dirección del eje X es de la forma

\mathbf{P}'=\mathsf{L}\cdot\mathbf{P}\qquad\qquad p'^\mu = L^\mu_\nu p^\nu

con

\mathsf{L}=L^\mu_\nu = \begin{pmatrix}\gamma & 0 & 0 & -\gamma v\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\gamma v & 0 & 0 & \gamma\end{pmatrix}        \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}

Esta matriz se puede escribir de forma alternativa introduciendo la celeridad

v = \tanh\phi\qquad \gamma = \cosh\phi\qquad\gamma v = \sinh\phi    L^\mu_\nu = \begin{pmatrix}\cosh\phi & 0 & 0 & -\sinh\phi\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\sinh\phi & 0 & 0 & \cosh\phi\end{pmatrix}

Si consideramos un problema unidmensional, la matriz se reduce a una 2×2:

L^\mu_\nu = \begin{pmatrix}\gamma & -\gamma v\\ -\gamma v & \gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cosh\phi & -\sinh\phi\\ -\sinh\phi & \cosh\phi\end{pmatrix}

La transformación de Lorentz inversa corresponde a cambiar v por − v (o \phi\, por -\phi\,).

2.4 Efecto Doppler

Si aplicamos la transformación de Lorentz a un fotón, obtenemos que el cuadrivector número de onda se transforma en

\begin{pmatrix}k' \\ k'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma v\\ -\gamma v & \gamma \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}k \\ k \end{pmatrix}

esto es

k' = \gamma k -\gamma v k = \frac{1-v}{\sqrt{1-v^2}}k = \sqrt{\frac{1-v}{1+v}}k

o, en términos de la celeridad

k' = \mathrm{e}^{-\phi}k\,

El número de onda, y por tanto la frecuencia, se ven reducidos al observar el mismo fotón en un sistema que se aleja con velocidad v respecto al primero. Este es el corrimiento al rojo. Por supuesto, si el fotón va en sentido contrario al nuevo observador, lo que se aprecia es un aumento de la frecuencia, un corrimiento hacia el violeta.

3 Colisiones relativistas

3.1 Entre dos partículas

3.1.1 Colisión perfectamente elástica

En una colisión perfectamente elástica, las partículas salen despedidas conservando sus masas individuales, de forma que tenemos

\mathbf{P}_1+\mathbf{P}_2=\mathbf{P}'_1+\mathbf{P}'_2\,        \mathbf{P}'_1\cdot\mathbf{P}'_1=\mathbf{P}_1\cdot\mathbf{P}_1=m_1^2\,        \mathbf{P}'_2\cdot\mathbf{P}'_2=\mathbf{P}_2\cdot\mathbf{P}_2=m_2^2\,

Esto conduce a las ecuaciones

p_1+p_2=p'_1+p'_2\,         E_1+E_2 = E'_1+E'_2\,         {E'_1}^2-{p'_1}^2=E_1^2-p_1^2=m_1^2\,        {E'_1}^2-{p'_1}^2=E_1^2-p_1^2=m_1^2\,

En términos de las celeridades

m_1\sinh\phi_1+m_2\sinh\phi_2=m_1\sinh\phi'_1+m_2\sinh\phi'_2\,        m_1\cosh\phi_1+m_2\cosh\phi_2=m_1\cosh\phi'_1+m_2\cosh\phi'_2\,

Para obtener el estado final, despejamos y hallamos el módulo en una de las ecuaciones

m_2^2 = \mathbf{P}'_2\cdot\mathbf{P}'_2 = (\mathbf{P}_1+\mathbf{P}_2-\mathbf{P}'_1)\cdot(\mathbf{P}_1+\mathbf{P}_2-\mathbf{P}'_1)=m_1^2+m_2^2+2\mathbf{P}_1\cdot\mathbf{P}_2-2\mathbf{P}'_1\cdot(\mathbf{P}_1+\mathbf{P}_2)

3.1.2 Colisión completamente inelástica

3.2 Entre una partícula y un fotón

3.2.1 Reflexión de un fotón

3.2.2 Absorción de un fotón

4 Barco de vela solar

4.1 Descripción del problema

5 Vela reflectante

6 Vela absorbente

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Propulsi%C3%B3n_solar"

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