Potencial eléctrico debido a una polarización

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 20:48 6 feb 2010

El potencial eléctrico debido a una polarización es la suma de los potenciales debidos a cada dipolo.

El potencial de un solo dipolo situado en el origen de coordenadas es

$\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{r^3}$

Si en lugar de encontrarse en el origen se encuentra en un punto $\mathbf{r}_0$ empleamos la posición relativa a este punto

$\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|^3}$

Si ahora consideramos un conjunto de dipolos situados en posiciones $\mathbf{r}_i$ el potencial eléctrico total será la suma de los potenciales individuales

$\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^N\frac{\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}$

Cuando el número de dipolos es muy grande, la suma se puede aproximar por una integral. Para ello, dividimos el volumen total polarizado en elementos de volumen $Δτ'$ y aplicamos que, según la definición de polarización en un material

$\sum_{\mathbf{p}_i\in\Delta\tau'}\mathbf{p}_i = \mathbf{P}(\mathbf{r}')\,\Delta\tau'$

con lo que queda

$\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{\Delta\tau'}\left(\sum_{\mathbf{p}_i\in\Delta\tau'}\frac{\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}\right)\simeq \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{\Delta\tau'}\left(\mathbf{P}(\mathbf{r}')\cdot\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}\Delta\tau'\right) \to \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_\tau \mathbf{P}(\mathbf{r}'){\cdot}\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}\tau'$

Esta integral suele ser difícil de calcular por métodos analíticos.

Una descripción alternativa es mediante las densidades de carga de polarización o de carga ligada, definidas como

$\rho_p = -\nabla{\cdot}\mathbf{P}$ $\sigma_p = -\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{P}]\,$

La última fórmula, con el salto en la polarización, se aplica a una interfaz entre dos dieléctricos. Si uno de ellos es el vacío (en el cual $\mathbf{P}=\mathbf{0}$ ), esta expresión se reduce a $\sigma_p = \mathbf{P}{\cdot}\mathbf{n}$ . En términos de $ρ p$ y $σ p$ el potencial es

$\phi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_\tau\frac{\rho_p}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,\mathrm{d}\tau'+ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\oint_{\partial\tau}\frac{\sigma_p}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,\mathrm{d}S'$

Empleando las cargas de polarización, las ecuaciones de la electrostática en presencia de dieléctricos se escriben como

$\nabla{\cdot}\mathbf{E} = \frac{\rho_l+\rho_p}{\varepsilon_0}$ $\nabla\times \mathbf{E} =\mathbf{0}$

con las condiciones de salto

$\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{E}] = \frac{\sigma_l+\sigma_p}{\varepsilon_0}$ $\mathbf{n}\times [\mathbf{E}]=\mathbf{0}$

siendo $ρ l$ y $σ l$ las densidades de carga libre, definidas como aquellas que no son de polarización.

@@ Línea 13: / Línea 13: @@
 <center><math>\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^N\frac{\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}</math></center>
-Cuando el número de dipolos es muy grande, la suma se puede aproximar por una integral. Para ello, dividimos el volumen total polarizado en elementos de volumen <math>\Delta\tau'</math> y queda
+Cuando el número de dipolos es muy grande, la suma se puede aproximar por una integral. Para ello, dividimos el volumen total polarizado en elementos de volumen <math>\Delta\tau'</math> y aplicamos que, según la definición de [[polarización en un material]]
-<center><math>\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{\Delta\tau'}\left(\sum_{\mathbf{p}_i\in\Delta\tau'i}\frac{\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}\right)\simeq  \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{\Delta\tau'}\left(\mathbf{P}(\mathbf{r}')\cdot\frac{\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}\Delta\tau'\right) \to \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_\tau \mathbf{P}(\mathbf{r}'){\cdot}\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}\tau'
+<center><math>\sum_{\mathbf{p}_i\in\Delta\tau'}\mathbf{p}_i = \mathbf{P}(\mathbf{r}')\,\Delta\tau'</math></center>
+con lo que queda
+<center><math>\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{\Delta\tau'}\left(\sum_{\mathbf{p}_i\in\Delta\tau'}\frac{\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}\right)\simeq  \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{\Delta\tau'}\left(\mathbf{P}(\mathbf{r}')\cdot\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}\Delta\tau'\right) \to \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_\tau \mathbf{P}(\mathbf{r}'){\cdot}\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}\tau'
 </math></center>

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