Ver código fuente

= Enunciado =
[[Imagen:MR_Barra_girando.png|right]]
El extremo <math>A</math> de una barra de longitud <math>L</math> desliza sobre el eje <math>OZ_1</math>. La barra gira respecto al eje
<math>OZ_1</math>, de modo que está siempre contenida en el plano <math>OX_0Z_0</math> y el punto <math>B</math>  permanece siempre en el eje <math>OX_0</math>. El plano <math>OX_0Z_0</math> realiza una rotación de eje permanente <math>OZ_0</math>. En el instante inicial el punto <math>A</math>
coincidía con <math>O</math> y el punto <math>B</math> estaba sobre el eje <math>OX_1</math>.
#Determina las reducciones cinemáticas de los movimientos {01}, {20} y {21}, así como sus derivadas. El resultado debe quedar en función de <math>z</math>, <math>\psi</math>, <math>\theta</math> y sus derivadas temporales.
#Supongamos que la velocidad del punto <math>A</math> respecto al eje es constante y de magnitud <math>v_0</math>. Encuentra la ecuación diferencial que determina la función <math>\psi(t)</math>.

= Solución =

== Reducciones cinemáticas ==

=== Movimiento {01} ===
Este movimiento es la rotación de eje permanente del plano <math>OX_0Z_0</math> alrededor del eje <math>OZ_0</math>. Todos los puntos del eje están en reposo en este movimiento, en particular el punto <math>A</math>. Entonces una posible reducción cinemática es
<center>
<math>
\vec{\omega}_{01} = \dot{\theta}\,\vec{k}_{0,1},
\qquad
\vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{0}.
</math>
</center>
El eje del movimiento es <math>\Delta^{01}_{EPR} \equiv OZ_0</math>. Es una rotación permanente, porque el eje no cambia respecto al sólido "1". La derivada de la reducción cinemática es
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{01} =
\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1
=
 \ddot{\theta}\,\vec{k}_{0,1},
\qquad
\vec{a}^{\,A}_{01} 
=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1
=  \vec{0}.
</math>
</center>
Hemos usado que <math>\vec{k}_0 = \vec{k}_1</math>, y por tanto es constante visto desde el sólido "1".

=== Movimiento {20} ===
El punto <math>A</math> de la barra (sólido "2"), se mueve respecto al eje <math>OZ_0</math>, es decir, respecto al sólido "0". Entonces
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}_{20} = \dot{z}\,\vec{k}_{0,1}
</math>
</center>
Por otro lado, este movimiento es una rotación plana de la barra en el plano <math>OX_0Z_0</math>. Entonces <math>\vec{\omega}_{20}</math> es perpendicular a este plano. Observando el dibujo vemos que
<center>
<math>
\vec{\omega}_{20} = \dot{\psi}\,\vec{\jmath}_0
</math>
</center>
Cuando <math>\psi</math> aumenta, se tiene <math>\dot{\psi}>0</math> y esta expresión da el sentido correcto del vector rotación.

Este movimiento es una rotación pura, pues <math>\vec{\omega}_{20}\cdot\vec{v}^{\,A}_{20} = 0</math>. La aceleración angular es 
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0
=
\ddot{\psi}\,\vec{\jmath}_0
</math>
</center>
Hemos usado que el vector <math>\vec{\omega}_{20}</math> está expresado en la base del sólido "0", por lo que el vector <math>\vec{\jmath}_0</math> es constante en esta derivada.
Para la aceleración del punto  <math>A</math> tenemos
<center>
<math>
\vec{a}^{\,A}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,A}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0
=
\ddot{z}\,\vec{k}_0
</math>
</center>

=== Movimiento {21} ===
Utilizamos la composición 
<center>
<math>
\{21\} = \{20\} + \{01\}
</math>
</center>
Para el vector rotación
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = 
\dot{\psi}\,\vec{\jmath}_0 + \dot{\theta}\,\vec{k}_0
</math>
</center>
Para la velocidad en <math>A</math>
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{20} + \vec{v}^{\,A}_{01}
=
\dot{z}\,\vec{k}_0
</math>
</center>
El vector aceleración angular
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
=
-\dot{\psi}\dot{\theta}\,\vec{\imath}_0 + \ddot{\psi}\,\vec{\jmath}_0 + \ddot{\theta}\,\vec{k}_0
</math>
</center>
Y la aceleración en <math>A</math>
<center>
<math>
\vec{a}^{\,A}_{21} = \vec{a}^{\,A}_{20} + \vec{a}^{\,A}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,A}_{20}
=
\ddot{z}\vec{k}_0
</math>
</center>
Este  movimiento es helicoidal tangente, pues <math>\vec{\omega}_{21}\neq\vec{0}</math> y <math>\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{v}^{\,A}_{21}\neq 0</math>.

== Ecuación para <math>\psi</math>==
En estas condiciones tenemos
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}_{21} = v_0\,\vec{k}_0
</math>
</center>
El punto <math>B</math> está obligado a moverse en el plano <math>OX_1Y_1</math>. Entonces su velocidad <math>\vec{v}^{\,B}_{21}</math> no tiene componente en <math>Z_0</math>. Usando el Teorema de Chasles 
<center>
<math>
\vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB}
</math>
</center>
El vector <math>\overrightarrow{AB}</math> es
<center>
<math>
\overrightarrow{AB} = L\cos\psi\,\vec{\imath}_0 - L\,\mathrm{sen}\,\psi\,\vec{k}_0
</math>
</center>
Por tanto
<center>
<math>
\vec{v}^{\,B}_{21} = -L\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,\psi\,\vec{\imath}_0 
+
L\dot{\theta}\cos\psi\,\vec{\jmath}_0
+
(v_0-L\dot{\psi}\cos\psi)\,\vec{k}_0
</math>
</center>
Como la componente en <math>Z_0</math> tiene que ser nula, obtenemos
<center>
<math>
\dot{\psi} = \dfrac{v_0}{L\cos\psi}
</math>
</center>

[[Categoría:Problemas de movimiento relativo]]