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== Enunciado==
[[Imagen:F1_GIC_varilla_peso_muelle_horizontal.png|right]]
La varilla <math>OA</math>, homogénea, de peso <math>P</math> y longitud <math>L</math>, está obligada a permanecer en el plano vertical fijo <math>OXY</math>. Su extremo <math>O</math> se halla articulado al origen del sistema de referencia, mientras que su extremo <math>A</math> está conectado, mediante un resorte elástico ideal de constante recuperadora <math>K</math> y longitud natural nula, a un deslizador puntual <math>B</math> que puede moverse sin rozamiento a lo largo del eje <math>OY</math>. El resorte <math>AB</math> se mantiene perpendicular al eje <math>OY</math> en todo instante. 
#Representa el "diagrama de sólido libre" de la varilla teniendo en cuenta el teorema de las tres fuerzas.
#Determina el ángulo <math>\theta</math> que forma la varilla con el eje vertical <math>OY</math> en la posición de equilibrio (descartando las soluciones <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math> radianes)

== Solución ==

===Diagrama de sólido libre===
Tenemos que desvincular la varilla, de modo que cada vínculo se
sustituye por una fuerza de reacción vincular. Analicemos las fuerzas
que actúan sobre la varilla

#'''Peso:''' se aplica en el centro de gravedad <math>G</math> de la varilla y apunta hacia abajo, por tanto
<center><math>
    \vec{P}=-P\,\vec{\jmath}
  </math></center>
#'''Muelle:''' el muelle está siempre en posición horizontal y su longitud natural es nula. Por tanto la fuerza que ejerce es proporcional a la distancia entre el punto <math>A</math> y el punto de sujeción <math>B</math> y apunta hacia este último
<center><math>
    \vec{F}_K = -K\overrightarrow{BA}
  </math></center>
#'''Fuerza de reacción vincular:''' está aplicada en la articulación en <math>O</math>. Esta articulación impide la traslación de la varilla tanto en la dirección <math>X</math> como en la <math>Y</math>. Por tanto la fuerza de reacción tiene componentes en esas dos direcciones
<center><math>
    \vec{\Phi}=\Phi_x\,\vec{\imath}+\Phi_y\,\vec{\jmath}
  </math></center>
[[Imagen:F1_GIC_varilla_peso_muelle_horizontal_fuerzas.png|right]]
Ahora bien, el teorema de las tres fuerzas nos dice que si el sólido
está en equilibrio las rectas soportes de las tres fuerzas
necesariamente se cortan en un punto (siempre que no sean paralelas
entre sí). Como conocemos la dirección del peso y de la fuerza
recuperadora del muelle podemos determinar gráficamente la dirección
de la fuerza de reacción vincular, como se indica en la figura.

===Determinación del ángulo <math>\boldsymbol{\theta}</math> de equilibrio===

Para que un sólido rígido esté en equilibrio mecánico las fuerzas que
actúan sobre él deben cumplir dos condiciones, que la suma total de
fuerzas sea cero y que el momento resultante respecto a cualquier
punto sea también en cero. Si escogemos el punto <math>O</math> para calcular el
momento estas condiciones se expresan como
<center><math>
  \begin{array}{l}
    \vec{P}+\vec{F}_K+\vec{\Phi}=\vec{0}\\ \\
    \overrightarrow{OG}\times\vec{P}+\overrightarrow{OA}\times\vec{F}_K+\overrightarrow{OO}\times\vec{\Phi}=\overrightarrow{OG}\times\vec{P}+\overrightarrow{OA}\times\vec{F}_K=\vec{0} 
  \end{array}
</math></center>
En la suma de momentos el par correspondiente a <math>\vec{\Phi}</math> se
anula pues se calcula respecto a su punto de aplicación. 

En este problema podemos determinar el ángulo aplicando directamente
la condición de momento resultante nulo. Al escoger el punto <math>O</math> para
calcular el momento nos quitamos de en medio la fuerza
<math>\vec{\Phi}</math>. Necesitamos expresar en función del ángulo <math>\theta</math>
los vectores necesarios para calcular este momento. Son
<center><math>
  \begin{array}{l}
    \overrightarrow{OA} = L\,\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}+L\,\cos\theta\,\vec{\jmath}\\ \\
    \overrightarrow{OG} =
    \dfrac{L}{2}\,\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}+\dfrac{L}{2}\,\cos\theta\,\vec{\jmath}\\ \\
    \vec{P} = -P\,\vec{\jmath}\\ \\
    \vec{F}_K = -K \,L\,\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}
  \end{array}
</math></center>
Los momentos que necesitamos son
<center><math>
  \begin{array}{l}
    \overrightarrow{OG}\times\vec{P}=-\dfrac{PL}{2}\,\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{k}\\ \\
    \overrightarrow{OA}\times\vec{F}_K=K\,L^2\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta\,\vec{k}
  \end{array}
</math></center>
La suma debe ser cero, de donde obtenemos tres posibles soluciones
<center><math>
\begin{array}{l}
  \mathrm{sen}\,\theta=0\Longrightarrow
  \left|
  \begin{array}{l}
    \theta=0\\ \theta=\pi
  \end{array}
  \right.
\\
  \cos\theta = \dfrac{P}{2KL}
\end{array}
</math></center>

La solución para el coseno no puede ser válida siempre. Si el peso es mayor que <math>2KL </math> esa solución no puede aparecer, pues el coseno de un ángulo no puede ser mayor que uno.

Cuando se analiza la estabilidad de las soluciones (con técnicas que no hemos visto en clase), resulta que la solución que involucra al <math>\cos\theta </math> es inestable, es decir, no se va a observar nunca en la práctica. Si <math>P<2KL </math>, las dos soluciones <math>\theta=0 </math> y <math>\theta=\pi </math> son estables. Cuál de ellas se observa depende del valor inicial del ángulo. Si es menor que <math>\arccos(P/2KL) </math> se observa la solución  <math>\theta=0 </math>. Si es mayor que ese valor se observa <math>\theta=\pi </math>.

Por otro lado, si <math>P>2KL </math> la única solución estable es <math>\theta=\pi </math>.

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[[Categoría: Problemas de Estática del Sólido Rígido]]