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==Enunciado==
Un mortero lanza un proyectil esférico de acero de 5&thinsp;cm de radio desde un punto sobre el suelo horizontal al pie de una pendiente cuya superficie forma un ángulo <math>\beta=30^\circ</math> con la horizontal. El mortero dispara el proyectil con una velocidad de 21&thinsp;m/s. Desprecie el rozamiento con el aire y el posible efecto de rotación de la esfera.

<center>[[Archivo:mortero-rampa.png]]</center>

# Si el proyectil es lanzado con un ángulo &alpha; con la horizontal, ¿a qué distancia <math>s</math> del mortero, medida sobre la pendiente, impacta con el suelo?
# Halle el valor de &alpha; que hace máxima esta distancia.
# Suponga que el proyectil se lanza con un ángulo de &pi;/3 con la horizontal. Para este caso, halle:
## La rapidez que tiene en el momento del impacto.
## La aceleración tangencial y normal (escalares) en el momento de impacto.
## La variación en la energía cinética y en la potencial respecto al instante inicial.

'''Datos:''' Aceleración de la gravedad <math>g = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>. 

==Alcance general==
En el movimiento del proyectil, se cumplen las ecuaciones horarias

<center><math>\left\{\begin{array}{rcl} x & = & v_0\cos(\alpha)t \\ z & = & v_0\,\mathrm{sen}(\alpha)t-\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\end{array}\right.</math></center>

Por otro lado, en el momento de impacto, el proyectil se encuentra sobre la pendiente, por lo que

<center><math>\left\{\begin{array}{rcl} x & = & s\cos(\beta) \\ z & = & s\,\mathrm{sen}(\beta)\end{array}\right.</math></center>

Para hallar el punto de impacto, debemos resolver este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (<math>t</math> y <math>s</math>), lo cual se puede hacer de diversas formas. Una vez que hayamos calculado el alcance, buscaremos su valor máximo con respecto al ángulo de lanzamiento.

Primero despejamos el tiempo de impacto

<center><math>t=\frac{x}{v_0\cos(\alpha)}=\frac{s\cos(\beta)}{v_0\cos(\alpha)}</math></center>

y a continuación sustituimos en la coordenada vertical

<center><math>s\,\mathrm{sen}(\beta)= z = \frac{s\,\mathrm{sen}(\alpha)\cos(\beta)}{\cos(\alpha)}-\frac{g\,\cos^2(\beta)s^2}{2v_0^2\cos^2(\alpha)}</math></center>

Dividiendo por s en cada miembro obtenemos una ecuación de primer grado

<center><math>\mathrm{sen}(\beta)=\frac{\mathrm{sen}(\alpha)\cos(\beta)}{\cos(\alpha)} - \frac{g\cos^2(\beta)}{2v_0^2\cos^2(\alpha)}s</math></center>

Despejamos de aquí el alcance

<center><math>s = \frac{2v_0^2\cos(\alpha)\left(\mathrm{sen}(\alpha)\cos(\beta)-\mathrm{sen}(\beta)\cos(\alpha)\right)}{g\cos^2(\beta)}</math></center> 

Esta expresión se puede simplificar con ayuda de las relaciones trigonométricas y escribirse como

<center><math>s = \frac{2v_0^2\cos(\alpha)\mathrm{sen}(\alpha-\beta)}{g\cos^2(\beta)}</math></center>

A modo de comprobación, vemos que para un plano horizontal se obtiene el resultado conocido

<center><math>(\beta=0) \qquad s = \frac{2v_0^2\cos(\alpha)\mathrm{sen}(\alpha-0)}{g\cdot 1}=\frac{v_0^2\mathrm{sen}(2\alpha)}{g}</math></center>

==Alcance máximo==
Podemos hallar el alcance máximo sin necesidad de derivar e igualar a cero con ayuda de la relación trigonométrica

<center><math>2\mathrm{sen}(a)\cos(b)=\mathrm{sen}(a+b)+\mathrm{sen}(a-b)\,</math></center>

que en este caso da

<center><math>s = \frac{v_0^2\left(\mathrm{sen}(2\alpha-\beta)-\mathrm{sen}(\beta)\right)}{g\cos^2(\beta)}</math></center>

En esta expresión la única dependencia en <math>\alpha</math> está en el numerador. Por tanto, el máximo valor del alcance lo obtenemos cuando ese seno es igual a la unidad

<center><math>\max(s)= \frac{v_0^2\left(1-\mathrm{sen}(\beta)\right)}{g\cos^2(\beta)}</math></center>

que se da para

<center><math>\mathrm{sen}(2\alpha-\beta)=1\qquad\Rightarrow\qquad 2\alpha-\beta = \frac{\pi}{2}\qquad\Rightarrow\qquad \alpha = \frac{\pi}{4}+\frac{\beta}{2}</math></center>

Podemos simplificar el máximo alcance haciendo uso de otra relación trigonométrica

<center><math>\cos^2(\beta)=1-\mathrm{sen}^2(\beta)=(1-\mathrm{sen}(\beta))(1+\mathrm{sen}(\beta))</math></center>

y queda

<center><math>\max(s)= \frac{v_0^2}{g\left(1+\mathrm{sen}(\beta)\right)}</math></center>

Comprobamos los casos límite conocidos

* Para el plano horizontal <math>\beta = 0</math> y resulta el ángulo de máximo alcance y el valor de éste

<center><math>\alpha = \frac{\pi}{4}+0=45^\circ \qquad\qquad \max(s) = \frac{v_0^2}{g}</math></center>

* Para una pared vertical <math>\beta = \pi/2</math> y resulta 

<center><math>\alpha = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}=90^\circ \qquad\qquad \max(s) = \frac{v_0^2}{2g}</math></center>

:que quiere decir que, lógicamente, debemos lanzar el proyectil en vertical y el alcance será la máxima altura correspondiente a un tiro vertical
<!--
Para obtener el alcance derivamos la expresión anterior respecto al ángulo de lanzamiento e igualamos a cero

<center><math>0=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\alpha}=\frac{2v_0^2}{g\cos^2(\beta)}\left(-\mathrm{sen}(\alpha)\mathrm{sen}(\alpha-\beta)+\cos(\alpha)\cos(\alpha-\beta)\right) = \frac{2v_0^2\cos(2\alpha-\beta)}{g\cos^2(\beta)}</math></center>

Esta expresión se anula cuando lo hace el coseno del numerador

<center><math>\cos(2\alpha-\beta)=0\qquad\Rightarrow\qquad 2\alpha-\beta = \frac{\pi}{2}\qquad\rightarrow\qquad \alpha=\frac{\pi}{4}+\frac{\beta}{2}</math></center>
-->
Para el caso particular <math>\beta = \pi/6</math>

<center><math>\alpha = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}</math></center>

es decir, que se alcanza la distancia máxima para un ángulo de 60º respecto a la horizontal (y de 30º respecto al plano).

Si sustituimos los datos de la aceleración de la gravedad y la rapidez inicial

<center><math>s = \frac{2\times 21^2}{3\times 9.8}=30\,\mathrm{m}</math></center>

==Caso particular==
El caso particular <math>\alpha = \pi/3</math> es justamente el que produce el alcance máximo, según acabamos de ver, aunque esto no es necesario para lo que sigue.
===Rapidez de impacto===
El tiempo que tarda el proyectil en impactar lo obtenemos de las ecuaciones anteriores

<center><math>t = \frac{s\cos(\beta)}{v_0\cos(\alpha)}=\frac{2v_0\mathrm{sen}(\alpha-\beta)}{g\cos(\beta)}</math></center>

que para los ángulos indicados vale

<center><math>t = \frac{2\times 21 \times \mathrm{sen}(\pi/3-\pi/6)}{9.8\cos(\pi/6)}=\frac{10\sqrt{3}}{7}=2.47\,\mathrm{s}</math></center>

Para todo instante t, la velocidad de la partícula es

<center><math>\vec{v}=v_0\cos(\alpha)\vec{\imath}+(v_0\,\mathrm{sen}(\alpha)-gt)\vec{k}</math></center>

y en el instante de impacto, sustituyendo el valor del tiempo,

<center><math>\vec{v}=v_0\cos(\alpha)\vec{\imath}+v_0\left(\mathrm{sen}(\alpha)-\frac{2\mathrm{sen}(\alpha-\beta)}{\cos(\beta)}\right)\vec{k}</math></center>

Sustituimos los valores de los ángulos

<center><math>\vec{v}=v0\left(\frac{1}{2}\vec{\imath}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2\cdot(1/2)}{\sqrt{3}/2}\right)\vec{k}\right)=\frac{v_0}{2\sqrt{3}}\left(\sqrt{3}\vec{\imath}-\vec{k}\right)</math></center>

El módulo de este vector es

<center><math>|\vec{v}|=\frac{v_0}{2\sqrt{3}}\sqrt{3+1}=\frac{v_0}{\sqrt{3}}</math></center>

que para el valor dado de la velocidad inicial da

<center><math>|\vec{v}|=7\sqrt{3}=12.12\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
===Componentes intrínsecas de la aceleración===
La aceleración, como vector, es la misma en todo el moviminto:

<center><math>\vec{a}=\vec{g}=-g\vec{k}</math></center>

sin embargo, sus componentes intrínsecas van cambiando, ya que la velocidad va cambiando de dirección.

En el momento del impacto, el vector tangente a la trayectoria es, para los ángulos del problema

<center><math>\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{\imath}-\frac{1}{2}\vec{k}</math></center>

La aceleración tangencial (escalar) es la proyección de la aceleración sobre este vector

<center><math>a_t=\vec{a}\cdot\vec{T}=\frac{g}{2}=4.9\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

y en forma vectorial

<center><math>\vec{a}_t=a_t\vec{T}=\frac{g}{4}\left(\sqrt{3}\vec{\imath}-\vec{k}\right)</math></center>

La aceleración normal es la diferencia vectorial entre la completa y la tangencial 

<center><math>\vec{a}_n = \vec{a}-\vec{a}_t=-g\vec{k}-\frac{g}{4}\left(\sqrt{3}\vec{\imath}-\vec{k}\right)=-\frac{g\sqrt{3}}{4}\left(\vec{\imath}+\sqrt{3}\vec{k}\right)</math></center>

siendo su módulo

<center><math>a_n = |\vec{a}_n|=\frac{\sqrt{3}}{2}g=8.49\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

===Variación de la energía===
El cálculo de la energía corresponde al tema &ldquo;[[Energía_y_leyes_de_conservación_(GIE)|Energía y leyes de conservación]]&rdquo;, aunque en este caso se piden solamente fórmulas muy conocidas.

La variación en la energía cinética es

<center><math>\Delta K = \frac{1}{2}m|\vec{v}_f|^2-\frac{1}{2}m|\vec{v}_i|^2 </math></center>

y la de la energía potencial

<center><math>\Delta U = mgz_f-mgz_i\,</math></center>

siendo la masa del proyectil

<center><math>m= \rho V = \frac{4\pi \rho R^3}{3}=\frac{4\pi\times 7850\times 0.05^3}{3}=4.11\,\mathrm{kg}</math></center>

Esto nos da una variación en la energía cinética

<center><math>\Delta K = \frac{4.11}{2}\left(12.12^2-21^2\right)=-604\,\mathrm{J}</math></center>

y en la energía potencial

<center><math>\Delta U = mgz_f-mgz_i=mg s\,\mathrm{sen}(\beta)=4.11\times 9.8\times 30\times\frac{1}{2}=604\,\mathrm{J}</math></center>

Puesto que se conserva la energía mecánica, la ganancia en energía potencial coincide con la disminución en la cinética.

[[Categoría:Problemas de cinemática de la partícula (GIE)]]