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==Enunciado==
Halle el flujo del campo eléctrico debido a una carga puntual <math>q</math> a través de un disco cuyo eje pasa por el punto donde se encuentra la carga.

El disco tiene radio <math>a</math> y la distancia de la carga al plano del disco es <math>h</math>.

# Utilizando coordenadas cilíndricas
# Usando coordenadas esféricas (''Sugerencia'': En lugar del disco emplee otra superficie que abarque el mismo ángulo sólido).

==Introducción==
El flujo del campo eléctrico de una carga puntual (sobre la cual, por comodidad, situamos el origen de coordenadas) es

<center><math>\Phi_\mathrm{e} = \int_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_S\frac{\mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}}{r^3}</math></center>

La integral que aparece en el último miembro no es más que el [[ángulo sólido]], <math>\Omega</math>, abarcado por la superficie, vista desde el origen de coordenadas. Por tanto

<center><math>\Phi_\mathrm{e} = \frac{q}{\varepsilon_0}\,\frac{\Omega}{4\pi}</math></center>

El problema se reduce, por tanto, a determinar el ángulo sólido con el que el disco se ve desde la carga.

==En cilíndricas==
Situamos, según hemos dicho, el origen de coordenadas sobre la carga puntual, y el eje Z como el eje del disco. De esta forma, el disco queda parametrizado como

<center><math>z=h\,</math>{{qquad}}<math>\rho\in[0,a]</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\varphi\in[0,2\pi)</math></center>

El vector de posición de los puntos del disco y el vector diferencial de superficie valen

<center><math>
\mathbf{r}=\rho\mathbf{u}_\rho+h\mathbf{u}_z\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>r=\sqrt{h^2+\rho^2}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathrm{d}\mathbf{S}=\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathbf{u}_z</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=h\,\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi</math></center>

Sustituimos en la expresión del flujo

<center><math>\Phi_\mathrm{e}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_{0}^{2\pi}\!\!\mathrm{d}\varphi\int_0^a\!\!\mathrm{d}\rho\frac{h\rho}{(\rho^2+h^2)^{3/2}}</math></center>

La primera integral produce un factor <math>2\pi</math>, mientras que la segunda es casi inmediata

<center><math>\Phi_\mathrm{e} = \frac{qh}{2\varepsilon_0}\left.\left(-\frac{1}{\sqrt{\rho^2+h^2}}\right)\right|_0^a = \frac{qh}{2\varepsilon_0}\left(\frac{1}{h}-\frac{1}{\sqrt{a^2+h^2}}\right) = \frac{q}{\varepsilon_0}\,\frac{1-\cos\theta_0}{2}</math></center>

donde

<center><math>\cos\theta_0=\frac{h}{\sqrt{h^2+a^2}}</math></center>

siendo <math>\theta_0</math> el ángulo con el que se ve el borde del disco desde el origen de coordenadas.

==En esféricas==
El cálculo del flujo a través del disco lo podemos hallar igualmente empleando coordenadas esféricas. Sin embargo, se plantea el problema de cómo se expresa el diferencial de superficie <math>z=h=\mathrm{cte}</math> en coordenadas esféricas, pues en este sistema no se trata de una superficie coordenada.

Afortunadamente, no necesitamos resolver esa cuestión. Según indicamos, el flujo del campo eléctrico de una carga puntual a través de una superficie cualquiera es

<center><math>\Phi_\mathrm{e}=\frac{q}{\varepsilon_0}\,\frac{\Omega}{4\pi}</math></center>

y el ángulo sólido abarcado por una superficie <math>S</math> sólo depende del borde de dicha superficie. Cualquier otra superficie <math>S'</math> apoyada en la misma curva <math>\Gamma</math> y orientada en el mismo sentido producirá la misma proyección sobre una esfera de radio <math>a</math> centrada en la carga y por tanto abarcará el mismo ángulo sólido.

Así pues lo que necesitamos es una superficie sencilla en coordenadas esféricas cuyo borde sea un anillo de radio <math>R</math> situado a una altura <math>h</math>. Esta superficie es un casquete esférico apoyado en dicho anillo.

Este casquete se puede parametrizar como

<center>
<math>\mathbf{r}=R\mathbf{u}_r</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>R = \sqrt{a^2+h^2}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\theta\in[0,\theta_0]</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\varphi\in[0,2\pi)</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathrm{d}\mathbf{S}=R^2\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\mathbf{u}_r</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=R^3\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi</math></center>

Obsérvese que los límite de variación de la coordenadas esférica <math>\theta</math> son 0 (el cenit de la carga) y <math>\theta_0</math>, definido anteriormente como el ángulo con el que se ve el borde.

Sustituyendo en la expresión del flujo del campo eléctrico

<center><math>\Phi_\mathrm{e}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^{2\pi}\!\!\mathrm{d}\varphi\int_0^{\theta_0}\!\!\mathrm{d}\theta\frac{R^3\,\mathrm{sen}\,\theta}{R^3}=\frac{q}{\varepsilon_0}\,\frac{1-\cos\theta_0}{2}</math></center>

El resultado, naturalmente, coincide con el anterior. Vemos también que el ángulo sólido abarcado por un casquete esférico es

<center><math>\Omega = 2\pi(1-\cos\theta_0)\,</math></center>

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