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==Enunciado==
Una partícula se mueve de forma que en todo momento verifica la ecuación del oscilador armónico en tres dimensiones

<center><math>\vec{a}=-\omega^2 \vec{r}</math></center>
siendo su posición y velocidad iniciales

<center><math>\vec{r}_0=4h\vec{\jmath}+3h\vec{k}\qquad\qquad\vec{v}_0=4h\omega\vec{\imath}</math></center>
# Calcule la posición, velocidad y aceleración de la partícula en todo instante.
# Para el instante <math>t=0</math> halle:
## El triedro de Frenet: <math>\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}</math>.
## Las componentes intrínsecas de la aceleración (en forma escalar y vectorial).
## La posición del centro de curvatura.
# Empleando coordenadas cilíndricas y su base asociada:
## Escriba las ecuaciones horarias <math>\{\rho(t),\varphi(t),z(t)\}</math>.
## Escriba los vectores de posición, velocidad y aceleración como función del tiempo.
# Identifique este movimiento: ¿Es plano? ¿Es rectilíneo? ¿Es uniforme? ¿Cómo es la trayectoria? Justifique las respuestas.

==Posición, velocidad y aceleración==
===Posición===
En un oscilador armónico tridimensional, la [[Casos_particulares_de_movimiento_tridimensional_(GIE)#Oscilador_arm.C3.B3nico|solución general]] para la posición es de la forma

<center><math>\vec{r}=\vec{r}_0\cos(\omega t)+\frac{\vec{v}_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)</math></center>

Sustituimos los datos del enunciado y queda

<center><math>\vec{r}=\left(4h\vec{\jmath}+3h\vec{k}\right)\cos(\omega t)+\left(4h\vec{\imath}\right)\mathrm{sen}(\omega t)
= 4h\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+4h\cos(\omega t)\vec{\jmath}+3h\cos(\omega t)\vec{k}</math></center>

===Velocidad===
Una vez que tenemos la posición instantánea, calculamos la velocidad instantánea derivando respecto al tiempo

<center><math>\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=4h\omega\cos(\omega t)\vec{\imath}-4h\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}-3h\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{k}</math></center>

===Aceleración===
Para hallar la aceleración podemos derivar de nuevo o usar la ecuación del oscilador armónico

<center><math>\vec{a}=-\omega^2 \vec{r}=-4h\omega^2\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}-4h\omega^2\cos(\omega t)\vec{\jmath}-3h\omega^2\cos(\omega t)\vec{k}</math></center>

==Estado en t=0==
Para analizar el estado en <math>t=0</math> no necesitamos el apartado anterior, ya que el enunciado nos da la posición

<center><math>\vec{r}(t=0)=\vec{r}_0=4h\vec{\jmath}+3h\vec{k}</math></center>

la velocidad

<center><math>\vec{v}(t=0)=\vec{v}_0=4h\omega\vec{\imath}</math></center>

y la aceleración

<center><math>\vec{a}(t=0)=-\omega^2\vec{r}_0=-4h\omega^2\vec{\jmath}-3h\omega^2\vec{k}</math></center>

===Triedro de Frenet===
====Vector tangente====
Es el unitario en la dirección y sentido de la velocidad

<center><math>\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\frac{4h\omega\vec{\imath}}{4h\omega}=\vec{\imath}</math></center>

====Vector normal====
Es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal. En este instante tenemos que la aceleración es perpendicular a la velocidad

<center><math>\vec{a}\cdot\vec{v}=\left(-4h\omega^2\vec{\jmath}-3h\omega^2\vec{k}\right)\cdot\left(4h\omega\vec{\imath}\right)=0</math></center>

por lo que toda la aceleración es normal, siendo su módulo

<center><math>\vec{a}_n=\vec{a}\qquad |\vec{a}_n|=h\omega^2\sqrt{4^2+3^2}=5h\omega^2</math></center>

lo que da el vector normal

<center><math>\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{|\vec{a}_n|}=\frac{-4h\omega^2\vec{\jmath}-3h\omega^2\vec{k}}{5h\omega^2}=-\frac{4}{5}\vec{\jmath}-\frac{3}{5}\vec{k}</math></center>

====Vector binormal====
Es el producto vectorial de los dos anteriores

<center><math>\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\vec{\imath}\times\left(-\frac{4}{5}\vec{\jmath}-\frac{3}{5}\vec{k}\right)=\frac{3}{5}\vec{\jmath}-\frac{4}{5}\vec{k}</math></center>

También podía hallarse directamente como

<center><math>\vec{B}=\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{|\vec{v}\times\vec{a}|}</math></center>

===Componentes de la aceleración===
====Tangencial====
Según hemos visto, en este instante la aceleración es ortogonal a la velocidad, por lo que no tiene componente tangencial

<center><math>\vec{a}_t=\vec{0}\qquad\qquad a_t=0</math></center>

====Normal====
Al ser nula la aceleración tangencial en este instante, la aceleración normal es toda la aceleración

<center><math>\vec{a}_n=\vec{a}=-4h\omega^2\vec{\jmath}-3h\omega^2\vec{k}\qquad \qquad a_n=|\vec{a}_n|=h\omega^2\sqrt{4^2+3^2}=5h\omega^2</math></center>

===Radio y centro de curvatura===
El radio de curvatura en este instante es igual a

<center><math>R=\frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{16h^2\omega^2}{5h\omega^2}=\frac{16}{5}h</math></center>

y el centro de curvatura

<center><math>\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}=\left(4h\vec{\jmath}+3h\vec{k}\right)+\frac{16}{5}h\left(-\frac{4}{5}\vec{\jmath}-\frac{3}{5}\vec{k}\right)=\frac{36}{25}h\vec{\jmath}+\frac{27}{25}h\vec{k}</math></center>
==Expresión en cilíndricas==
===Coordenadas===
Si separamos la posición instantánea en sus componentes cartesianas nos queda

<center><math>\left\{\begin{array}{rcl}x & = & 4h\,\mathrm{sen}(\omega t) \\ y & = & 4h\cos(\omega t) \\ z & = & 3h\cos(\omega t)\end{array}\right.</math></center>

La coordenada radial <math>\rho</math> es la distancia al eje Z

<center><math>\rho=\sqrt{x^2+y^2}=4h</math></center>

Esta distancia es constante, ya que la proyección en el plano XY describe un movimiento circular.

Para la coordenada acimutal tenemos

<center><math>\mathrm{tg}(\varphi)=\frac{y}{x}=\frac{\cos(\omega t)}{\mathrm{sen}(\omega t)}=\mathrm{cotg}(\omega t)\qquad\Rightarrow\qquad \varphi= \frac{\pi}{2}-\omega t</math></center>

ya que la cotangente es la tangente del complementario. 

Por último la coordenada vertical es la misma que en cartesianas

<center><math>z = 3h\cos(\omega t)\,</math></center>

Inversamente, el paso de cilíndricas a cartesianas es

<center><math>x = \rho\cos(\varphi)\qquad\qquad y=\rho\,\mathrm{sen}(\varphi)\qquad\qquad z = z</math></center>

y comparando esta expresión con la de este movimiento concreto es claro que la coordenada radial es constante y que el ángulo <math>\varphi</math> va como el complementario de <math>\omega t</math> (ya que se intercambia el seno por el coseno).

===Vectores===
====Posición====
La expresión del vector de posición en cilíndricas es

<center><math>\vec{r}=\rho\vec{u}_\rho+z\vec{k}</math></center>

que en este caso queda

<center><math>\vec{r}=4h\vec{u}_\rho+3h\cos(\omega t)\vec{k}</math></center>
====Velocidad====
La expresión para la velocidad es

<center><math>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi+\dot{z}\vec{k}</math></center>

que en este caso, al ser la coordenada radial constante

<center><math>\vec{v}=-4h\omega\vec{u}_\varphi-3h\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{k}</math></center>
====Aceleración====
Recurriendo de nuevo a la ecuación del oscilador armónico nos ahorramos escribir la expresión general en cilíndricas.

<center><math>\vec{a}=-\omega^2\vec{r}=-4h\omega^2\vec{u}_\rho-3h\omega^2\cos(\omega t)\vec{k}</math></center>

==Descripción del movimiento==
Este es un movimiento plano, ya que se puede escribir como combinación lineal de dos vectores

<center><math>\vec{r}=\vec{r}_0\cos(\omega t)+\frac{\vec{v}_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)</math></center>

No es rectilíneo ya que según hemos visto su aceleración normal no es nula.

Tampoco es uniforme, ya que su rapidez no es constante. Si hallamos esta en general queda

<center><math>|\vec{v}|=\sqrt{16h^2\omega^2+9h^2\omega^2\mathrm{sen}^2(\omega t)}</math></center>

La forma de la trayectoria es una elipse como corresponde a la solución general del oscilador armónico tridimensional

<center>[[Archivo:elipse-oblicua.gif]]</center>

Se puede ver también que es una elipse porque se trata de la intersección de un cilindro con un plano oblícuo

<center><math>x^2+y^2 = (4h)^2\qquad 3y - 4z = 0\,</math></center>
[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional (GIE)|0]]
[[Categoría:Problemas de cinemática de la partícula (GIE)]]