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== Enunciado ==
(Final, Diciembre 2009, P1) 
[[Imagen:Disco_varilla_cono.png|right]]
A un disco de radio <math>R</math> y espesor despreciable se le acopla en su centro una barra
perpendicular a él (sólido "2") de longitud <math>L</math>. El disco gira de modo que el extremo de esta barra permanece fijo en el
punto <math>O_1</math>, como se indica en la figura, y rueda sin deslizar sobre el plano <math>OX_1Y_1</math>. El eje 
<math>X_0</math> (sólido "0")  se elige de modo que acompaña al disco en su giro. La velocidad angular 
es <math>\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_1</math> con <math>\Omega</math> constante. 

#Aplicando las leyes de composición de movimientos, calcula la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}</math> y la aceleración angular <math>\vec{\alpha}_{20}</math>.
#Determina las reducciones cinemáticas de los movimientos {01}, {20} y {21}, así como las ecuaciones vectoriales de los respectivos ejes de rotación y mínimo deslizamiento.
#Calcula <math>\vec{v}^B_{21}</math> y <math>\vec{a}^A_{21}</math>  en el instante indicado en la figura.
#Calcula numéricamente los vectores de los apartados 1 y 3 si se tiene <math>L</math>=4 cm, <math>R</math>=3 cm, <math>\omega</math>=5 s<sup>-1</sup>.

== Solución ==
Vamos a analizar los movimientos {01} y {21}, y a partir de su composición obtendremos las magnitudes del movimiento {20}.

=== Movimiento {01} ===
Esta es una rotación pura, con eje de giro permanente que coincide con la línea
<math>OZ_0\equiv OZ_1</math>. La velocidad angular es la dada en el enunciado y
es constante  en el tiempo. Podemos reducir en el punto <math>O </math>, que al
estar siempre en el eje tiene velocidad nula siempre. La reducción cinemática de
este movimiento es
<center>
<math>
\begin{array}{ccc}
\vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_1=\Omega\,\vec{k}_0&\qquad\qquad&\vec{v}^O_{01}=\vec{0}
\end{array}
</math>
</center>
La ecuación vectorial del eje de rotación es
<center>
<math>
\Delta_{01} \equiv \overrightarrow{OI}_{01}=\lambda\,\vec{k}_1
</math>
</center>
Podemos también calcular las aceleraciones angular y lineal en el punto <math>O </math>
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{01}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}=\vec{0}
\qquad\qquad
\vec{a}^O_{01}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}^O_{01}}{\mathrm{d}t}=\vec{0}
</math>
</center>

=== Movimiento {21} ===
El enunciado nos dice que el disco rueda sin deslizar, por tanto
<math>\vec{v}^A_{21}=\vec{0} </math>. Por otro lado el punto <math>O </math>
pertenece tanto a la varilla (sólido "2") como al eje <math>OX_1 </math> (sólido
"1"). Entonces también tenemos <math>\vec{v}^{O}_{21}=\vec{0} </math>. Como la
velocidad es nula en los puntos <math>O </math> y <math>A </math>, el eje de
rotación <math>\Delta_{21} </math> debe pasar por esos puntos. Entonces la
velocidad angular <math>\vec{\omega}_{21} </math> es de la forma
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = \omega_{21}\,\vec{\imath}_0
</math>
</center>
Necesitamos la velocidad en otro punto para poder determinar <math>\omega_{21}
</math>. Para ello nos fijamos en el puntp <math>C </math>. Este punto pertenece
a la vez al sólido "2" (el disco) y al sólido "0" (el plano <math>OX_0Z_0
</math>. Esto quiere decir que <math>\vec{v}^C_{20}=\vec{0} </math>. Utilizando
la descomposición {21}={20}+{01} tenemos
<center>
<math>
\vec{v}^C_{21}=\vec{v}^C_{20}+\vec{v}^C_{01}=\vec{v}^C_{01}
</math>
</center>
Pero esta velocidad la podemos calcular a partir de la reducción del movimiento
{01}. Tenemos
<center>
<math>
\vec{v}^C_{01} = \vec{v}^O_{01} + \overrightarrow{OC}\times\vec{\omega}_{01}
=\overrightarrow{OC}\times\vec{\omega}_{01}
</math>
</center>
[[Imagen:Disco_varilla_cono_triangulo.png|right]]
Para obtener el vector <math>\overrightarrow{OC} </math> observamos la figura de
la derecha. Tenemos 
<center>
<math>
\overrightarrow{OC} = L\,\cos(\alpha)\,\vec{\imath}_0 +
L\,\mathrm{sen}(\alpha)\,\vec{k}_0
</math>
</center>
y para el ángulo <math>\alpha </math> se tiene
<center>
<math>
\mathrm{sen}\alpha = \frac{R}{\sqrt{L^2+R^2}}\qquad\qquad
\cos\alpha = \frac{L}{\sqrt{L^2+R^2}}
</math>
</center>
Es decir
<center>
<math>
\vec{v}^C_{21}=\vec{v}^C_{01}=(L\,\cos(\alpha)\,\vec{\imath}_0 +
L\,\mathrm{sen}(\alpha)\,\vec{k}_0)\times(\Omega\,\vec{k}_0)=
L\,\Omega\,\cos\alpha\,\vec{\jmath}_0
</math>
</center>
Ahora podemos calcular <math>\omega_{21} </math> utilizando la ecuación del
campo de velocidades del movimiento {21} para relacionar las velocidades en los
puntos <math>O </math> y <math>C </math>
<center>
<math>
\vec{v}^C_{21} = \vec{v}^O_{21} + \overrightarrow{OC}\times\vec{\omega}_{21}=
 (L\,\cos(\alpha)\,\vec{\imath}_0 +
L\,\mathrm{sen}(\alpha)\,\vec{k}_0)\times(\omega_{21}\,\vec{\imath}_0)
=
\omega_{21}\,L\,\mathrm{sen}\alpha\,\vec{\jmath}_0
</math>
</center>
Comparando esta expresión con la que hemos obtenido antes para
<math>\vec{v}^C_{21} </math> obtenemos
<center>
<math>
\omega_{21} = -\frac{\Omega}{\tan{\alpha}}=-\Omega\frac{L}{R}
</math>
</center>
La reducción cinemática del movimiento {21} en el punto <math>O </math> es
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = -\Omega\frac{L}{R}\,\vec{\imath}_0
\qquad\qquad
\vec{v}^O_{21} = \vec{0}
</math>
</center>
La ecuación vectorial del eje instantáneo de rotación <math>\Delta_{21} </math>
es
<center>
<math>
\Delta_{21}\equiv \overrightarrow{OI}_{21} = \mu\,\vec{\imath}_0
</math>
</center>
Para calcular la aceleración angular hay que utilizar la ecuación de Poisson que
relaciona la derivada temporal en el triedro "0" con la derivada en en el
triedro "1"
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{21} = \frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}=
\omega_{21}\frac{\mathrm{d}\vec{\imath}_{0}}{\mathrm{d}t}=
\omega_{21}\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{\imath}_0 =
\omega_{21}\omega_{01}\,\vec{k}_0\times\vec{\imath}_0 = 
-\Omega^2\frac{L}{R}\,\vec{\jmath}_0
</math>
</center>
Y teniendo en cuenta que el punto <math>O </math> pertenece en todo instante
tanto al sólido "2" como al "1", se tiene
<center>
<math>
\vec{a}^O_{21}=\vec{0}
</math>
</center>
=== Movimiento {20} ===
Para caracterizar este movimiento utilizamos la composición 
<center>
<math>
\{21\} = \{20\}+\{01\}
</math>
</center>
Tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\displaystyle\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01}
\Rightarrow
\vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01} = 
-\Omega\frac{L}{R}\,\vec{\imath}_0 - \Omega\,\vec{k}_0
\\ \\
\displaystyle\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} +
\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
\Rightarrow
\vec{\alpha}_{20} = \vec{\alpha}_{21} - \vec{\alpha}_{01}
-\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} = \vec{0}
\end{array}
</math>
</center>
Calculamos la velocidad y aceleración en el punto <math>O </math> usando la
misma composición
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{v}^O_{21} = \vec{v}^O_{20} + \vec{v}^O_{01} 
\Rightarrow
\vec{v}^O_{20} = \vec{v}^O_{21} - \vec{v}^O_{01} =  \vec{0}
\\ \\
\vec{a}^O_{21} = \vec{a}^O_{20} + \vec{a}^O_{01} +
2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^O_{20}
\Rightarrow
\vec{a}^O_{20} = \vec{a}^O_{21} - \vec{a}^O_{01} -
2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^O_{20} =  \vec{0}
\end{array}
</math>
</center>
El punto <math>O </math> pertenece al eje instantáneo de rotación
<math>\Delta_{20} </math>. Su ecuación vectorial es
<center>
<math>
\Delta_{20} \equiv \overrightarrow{OI}_{20} = \nu\,\vec{\omega}_{20}
</math>
</center>

=== Cálculo de '''v'''<sup>B</sup><sub>21</sub> ===
[[Imagen:Disco_varilla_cono_triangulo_AB.png|right]]
Calculamos <math>\vec{v}^B_{21} </math> a partir de la reducción del movimiento
{21} en el punto <math>O </math>. Utilizando la ecuación del campo de
velocidades de este movimiento tenemos 
<center>
<math>
\vec{v}^B_{21} = \vec{v}^O_{21} + \overrightarrow{OB}\times\vec{\omega}_{21}
=\overrightarrow{OB}\times\vec{\omega}_{21}
</math>
</center>
El vector <math>\overrightarrow{OB} </math> se puede expresar como 
<center>
<math>
\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}
</math>
</center>
De la figura tenemos
<center>
<math>
\left.
\begin{array}{l}
\overrightarrow{OA} = \sqrt{L^2+R^2}\,\vec{\imath}_0
\\ \\
\overrightarrow{AB} = 2R\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath}_0 +
2R\cos\alpha\,\vec{k}_0
\end{array}
\right|
\Rightarrow
\overrightarrow{OB} = (2R\,\mathrm{sen}\,\alpha +
\sqrt{L^2+R^2})\,\vec{\imath}_0 + 2R\cos\alpha\,\vec{k}_0
</math>
</center>
La velocidad buscada es
<center>
<math>
\vec{v}^B_{21} = \overrightarrow{OB}\times\vec{\omega}_{21} = 
\frac{2\,\Omega\,L^2}{\sqrt{L^2+R^2}}\,\vec{\jmath}_0
</math>
</center>

=== Cálculo de '''a'''<sup>A</sup><sub>21</sub> ===

Ahora utilizamos la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21}.
Partiendo del punto <math>O  </math> tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{rcl}
\vec{a}^A_{21} & = & \vec{a}^O_{21} + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{OA}
+ \vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OA})
\\ && \\
&& \vec{a}^O_{21} = \vec{0}
\\ && \\
&& \displaystyle\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{OA} =
\frac{\Omega^2L\sqrt{L^2+R^2}}{R}\,\vec{k}_0
\\ && \\
&& \vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OA}) = \vec{0}
\end{array}
</math>
</center>
Por tanto
<center>
<math>
\vec{a}^A_{21} = \frac{\Omega^2L\sqrt{L^2+R^2}}{R}\,\vec{k}_0

</math>
</center>
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[[Categoría:Problemas de movimiento relativo]]
[[Categoría:Problemas de examen]]