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==Enunciado==
Un coche entra en una curva de 90&deg; y 100&thinsp;m de radio a 80&thinsp;km/h. Disminuye su rapidez uniformemente hasta salir de la curva a
50&thinsp;km/h.

# Determine su rapidez cuando ha recorrido 1/3 de la curva, la mitad y 2/3 de ella.
# Halle su aceleración tangencial y su aceleración normal en los mismos puntos.
# Exprese el vector aceleración en estos puntos en los ejes indicados en la figura
<center>[[Archivo:aceleracion-coche-curva.png]]</center>

==Rapidez==
Como en el problema de la [[frenado de un fórmula 1|aceleración en una recta]] podría parecer que la rapidez varía linealmente con la posición y por tanto, a mitad de la curva la velocidad se habrá reducido en un 50% de la variación total. Sin embargo, no es así. Lo que es constante en este problema es la derivada respecto al tiempo, no la derivada respecto a la posición.

Se nos dice que

<center><math>\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=a_t=\mathrm{cte.}</math></center>

aunque no se nos dice cuánto vale esta cantidad, solo la velocidad en dos puntos conocidos (80&thinsp;km/h a la entrada y 50&thinsp;km/h a la salida). 

El cálculo es análogo al caso rectilíneo, pero empleando la rapidez y la distancia recorrida en lugar de la velocidad y la posición. Tenemos por un lado que, al ser constante

<center><math>a_t=\frac{\Delta |\vec{v}|}{\Delta t}=\frac{|\vec{v}|_2-|\vec{v}|_1}{\Delta t}</math></center>

mientras que la rapidez media es la media de la rapidez inicial y la final

<center><math>|\vec{v}|_m=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{|\vec{v}|_2+|\vec{v}|_1}{2}</math></center>

Si multiplicamos estas dos ecuaciones

<center><math>a_t \Delta s = \frac{|\vec{v}|^2_2-|\vec{v}|^2_1}{2}\qquad \Rightarrow\qquad a_t =\frac{|\vec{v}|^2_2-|\vec{v}|^2_1}{2\,\Delta s}</math></center>

siendo la distancia recorrida

<center><math>\Delta s = \frac{\pi}{2}R</math></center>

A este resultado se puede llegar también despejando de las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado para el movimiento a lo largo de la carretera

<center><math>s = s_0 + |\vec{v}|_0 t + \frac{1}{2}a_tt^2\qquad |\vec{v}|=|\vec{v}|_0+a_t t</math></center>

El valor resultante de la aceleración tangencial es, pasando las velocidades a m/s,

<center><math>a_t=\frac{13.9^2-22.2^2}{\pi\times 100}=-0.958\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

Para los puntos intermedios aplicamos la relación correspondiente para un cierto ángulo &theta;

<center><math>a_t=\frac{|\vec{v}|^2-|\vec{v}|_1^2}{2\theta R}\qquad\Rightarrow\qquad |\vec{v}|=\sqrt{|\vec{v}|_1^2+2a_tR \theta}=\sqrt{494-192\theta}</math></center>



Aplicando esta fórmula a los valores indicados nos queda la tabla

{| class="bordeado"
|-
! <math>\theta</math>
! <math>|\vec{v}| (\mathrm{m}/\mathrm{s})</math>
! <math>|\vec{v}| (\mathrm{km}/\mathrm{h})</math>
|-
| 0
| 22.2
| 80.0
|-
| &pi;/6
| 19.8
| 71.4
|-
| &pi;/4
| 18.5
| 66.7
|-
| &pi;/3
| 17.1
| 61.6
|-
| &pi;/2
| 13.9
| 50.0
|}

&nbsp;

<center>[[Archivo:rapidez-curva-02.png]]{{qquad}}{{qquad}}[[Archivo:rapidez-curva-01.png]]</center>

==Componentes intrínsecas de la aceleración==
===Aceleración tangencial===
La aceleración tangencial, según indica el enunciado, es constante, y su expresión y valor ya lo hemos calculado en el apartado anterior

<center><math>a_t = \frac{|\vec{v}_2|^2-|\vec{v}_1|^2}{\pi R}= -0.958\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

===Aceleración normal===
La aceleración normal, en cada punto de la curva, tiene la expresión

<center><math>a_n = \frac{|\vec{v}|^2}{R}</math></center>

puesto que el radio de curvatura es constante y el cuadrado de la rapidez varía linealmente con la distancia, esta aceleración normal es también una función lineal del ángulo

<center><math>a_n = \frac{|\vec{v}|_1^2+2a_tR\theta}{R}</math></center>

Sustituyendo los valores del enunciado (pasados a metros por segundo) queda

<center><math>a_n = \left(4.94-1.92\theta\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

Esto nos da la siguiente tabla de valores

{| class="bordeado"
|-
! <math>\theta</math>
! <math>a_t (\mathrm{m}/\mathrm{s}^2)</math>
! <math>a_n (\mathrm{m}/\mathrm{s}^2)</math>
|-
| 0
| -0.958
| 4.94
|-
| &pi;/6
| -0.958
| 3.94
|-
| &pi;/4
| -0.958
| 3.43
|-
| &pi;/3
| -0.958
| 2.93
|-
| &pi;/2
| -0.958
| 1.93
|}

==Vector aceleración==
Una vez que tenemos las componentes intrínsecas, construimos el vector aceleración como

<center><math>\vec{a}=a_t\vec{T}+a_n\vec{N}</math></center>

Aquí <math>\vec{T}</math> es el vector unitario tangente a la trayectoria, en la dirección y sentido de la velocidad. En función del ángulo <math>\theta</math> este unitario es igual a

<center><math>\vec{T}=-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+\cos(\theta)\vec{\jmath}</math></center>

mientras que el vector normal es el unitario hacia adentro de la circunferencia

<center><math>\vec{N}=-\cos(\theta)\vec{\imath}-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}</math></center>

Combinando los dos términos nos queda el vector aceleración

<center><math>\vec{a}=\left(-a_t\,\mathrm{sen}(\theta)-a_n\cos(\theta)\right)\vec{\imath}+\left(a_n\cos(\theta)-a_n\,\mathrm{sen}(\theta)\right)\vec{\jmath}</math></center>

Sustituyendo los valores de los ángulos del enunciado

{| class="bordeado"
|-
! <math>\theta</math>
! <math>\vec{a} (\mathrm{m}/\mathrm{s}^2)</math>
|-
| 0
| <math>-4.94\vec{\imath}-0.96\vec{\jmath}</math>
|-
| &pi;/6
| <math>-2.93\vec{\imath}-2.80\vec{\jmath}</math>
|-
| &pi;/4
| <math>-1.75\vec{\imath}-3.11\vec{\jmath}</math>
|-
| &pi;/3
| <math>-0.64\vec{\imath}-3.02\vec{\jmath}</math>
|-
| &pi;/2
| <math>0.96\vec{\imath}-1.93\vec{\jmath}</math>
|}

&nbsp; 

<center>[[Archivo:aceleracion-curva-02.png]]</center>

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