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= Enunciado =
[[Imagen:F1GIC_BarraParAplicado_Enunciado01.png|right]]
En el sistema de la figura, la barra <math>\overline{OA}</math> (sólido "2")  tiene masa <math>m</math> y longitud
<math>2L</math>. La barra está articulada en el punto fijo <math>O</math> de una barra vertical fija(sólido "1").  Se aplica un par <math>\vec{\tau}=\tau_0\,\vec{k}</math> sobre la barra "2". El sistema está sometido a la gravedad. 
#¿Como debe ser el par aplicado para que el ángulo sea <math>\theta_1=\pi/6</math>?
#Ahora, manteniendo aplicado el par de la pregunta anterior,  se apoya una barra homogénea "0", de masa <math>m</math> y longitud <math>2L</math>, como se indica en la figura. La barra "0" se mantiene siempre horizontal. Todos los contactos son lisos.
#¿Cuanto vale el ángulo de equilibrio en la nueva situación? 
#Calcula el par vincular sobre la barra "0" originado por el vínculo en <math>B</math> es

= Solución =

== Par para mantener el equilibrio ==
[[Imagen:F1GIC_BarraParAplicado_Fuerzas01.png|right|300ppx]]
La imagen de la derecha muestra el diagrama de cuerpo libre del sólido "0". Hay una fuerza vincular en <math>O</math> con tres posibles componentes no nulas, pues el punto <math>O</math> está fijo. Las fuerzas y pares son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{P} = -mg\,\vec{\jmath}\\
\vec{\Phi}^{\,O}_{1\to2} = O_x\,\vec{\imath} + O_y\,\vec{\jmath} + O_z\,\vec{k}\\
\vec{\tau} = \tau_0\,\vec{k}
\end{array}
</math>
</center>
La suma de fuerzas debe ser cero
<center>
<math>
\vec{P} + \vec{\Phi}^{\,O}_{1\to2} = \vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclr}
(X) & \to & O_x=0 & (1)\\
(Y) & \to & O_y=mg& (2)\\
(Z) & \to & O_z=0 & (3)
\end{array}
\right.
</math>
</center>
El momento neto respecto a <math>O</math> debe ser cero
<center>
<math>
\vec{M}_O = \vec{\tau} + \overrightarrow{OG_2}\times\vec{P} = \vec{0}
</math>
</center>
El momento ejercido por el peso es
<center>
<math>
\overrightarrow{OG_2}\times\vec{P} =  
(L\,\mathrm{sen}\,\theta_1\,\vec{\imath} + L\cos\theta_1\,\vec{\jmath})\times(-mg\,\vec{\jmath})
=
-mgL\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{k}
</math>
</center>
La ecuación del momento nos da la ecuación
<center>
<math>
\tau_0 - mgL\,\mathrm{sen}\,\theta_1 = 0, \qquad\qquad (4)
</math>
</center>
De aquí obtenemos el valor del par
<center>
<math>
\vec{\tau} = mgL\,\mathrm{sen}\,\theta_1 \,\vec{k} = \dfrac{1}{2}mgL\,\vec{k}
</math>
</center>

== Con barra horizontal aplicada ==
[[Imagen:F1GIC_BarraParAplicado_Fuerzas02.png|right|300ppx]]
La imagen de la derecha muestra el diagrama de cuerpo libre de ambos sólidos. Hay una fuerza vincular en <math>O</math> sobre el "2"  con tres posibles componentes no nulas, pues el punto <math>O</math> está fijo. En el punto <math>A</math> las fuerzas vinculares forman un par de acción reacción. En el punto <math>B</math> hay una fuerza vincular sobre "0" para impedir un desplazamiento que no sea en la dirección del eje <math>Y_1</math>. También hay un par vincular para que no haya rotación de la barra "0". 

Las expresiones de fuerzas y pares sobre el sólido "2" son
Las fuerzas y pares son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{P}_2 = -mg\,\vec{\jmath}\\
\vec{\Phi}^{\,O}_{1\to2} = O_x\,\vec{\imath} + O_y\,\vec{\jmath} + O_z\,\vec{k}\\
\vec{\Phi}^{\,A}_{0\to2} = -A_y\,\vec{\jmath} \\
\vec{\tau} = \tau_0\,\vec{k}
\end{array}
</math>
</center>

Sobre el sólido "0" tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{P}_0 = -mg\,\vec{\jmath}\\
\vec{\Phi}^{\,A}_{2\to0} = A_y\,\vec{\jmath} \\
\vec{\Phi}^{\,B}_{1\to0} = B_x\,\vec{\imath}  + B_z\,\vec{k}\\
\vec{\Gamma}_{1\to0} = \Gamma\,\vec{k}
\end{array}
</math>
</center>

Aplicamos la condiciones de equilibrio para cada sólido. Para el sólido "2"
<center>
<math>
\vec{P}_2 + \vec{\Phi}^{\,O}_{1\to2} + \vec{\Phi}^{\,A}_{0\to2} = \vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclr}
(X) & \to & O_x=0 & (1)\\
(Y) & \to & O_y-A_y=mg& (2)\\
(Z) & \to & O_z=0 & (3)
\end{array}
\right.
</math>
</center>
El momento respecto a <math>O</math> debe ser cero
<center>
<math>
\vec{M}_O = \vec{\tau} + \overrightarrow{OG_2}\times\vec{P}_2 + \overrightarrow{OA}\times\vec{\Phi}^{\,A}_{0\to2} = \vec{0}
\Longrightarrow
\tau_0 - mgL\,\mathrm{sen}\,\theta -2A_yL\,\mathrm{sen}\,\theta = 0\, \qquad(4)
</math>
</center>
La fuerza neta sobre el sólido "0" debe ser cero
<center>
<math>
\vec{P}_0 + \vec{\Phi}^{\,B}_{1\to0} + \vec{\Phi}^{\,A}_{2\to0} = \vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclr}
(X) & \to & B_x=0 & (5)\\
(Y) & \to & A_y=mg& (6)\\
(Z) & \to & B_z=0 & (7)
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Calculamos el momento neto respecto a <math>B</math>
<center>
<math>
\vec{M}_B = \overrightarrow{BG}_0\times\vec{P}_0 + \overrightarrow{BA}\times\vec{\Phi}^{\,A}_{2\to0} + \vec{\Gamma}_{1\to0}=\vec{0}
</math>
</center>
Tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\overrightarrow{BG}_0\times\vec{P}_0 = 
(L\,\vec{\imath})\times(-mg\,\vec{\jmath}) = -mgL\,\vec{k} \\
\overrightarrow{BA}\times\vec{\Phi}^{\,A}_{2\to0} =
(2L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath})\times(A_y\,\vec{\jmath})=
2LA_y\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{k}
\end{array}
</math>
</center>
Entonces
<center>
<math>
\Gamma - mgL + 2LA_y\,\mathrm{sen}\,\theta = 0. \qquad (8)
</math>
</center>
Tenemos 8 ecuaciones para 8 incógnitas, a saber <math>\{O_x, O_y, O_z, A_y, B_x, B_z, \Gamma, \theta\}</math>. Resolviendo tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{\Phi}^{\,O}_{1\to2} = 2mg\,\vec{\jmath},\\
\vec{\Phi}^{\,A}_{2\to0} = mg\,\vec{\jmath},\\
\vec{\Phi}^{\,B}_{1\to0} =  \vec{0}\\
\\
\vec{\Gamma}_{1\to0} = \dfrac{2}{3}mgL\,\vec{k}\\
\mathrm{sen}\,\theta = \dfrac{\tau_0}{3mgL} = \dfrac{1}{6}
\end{array}
</math>
</center>


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