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==Enunciado==
El potencial medio temporal de un átomo de hidrógeno neutro viene dado
por

<center><math>\phi = \frac{q \mathrm{e}^{-\alpha r}}{4\pi\varepsilon_0 r} \left( 1 + \frac{\alpha
r}{2} \right)</math>
</center>
en donde <math>q</math> es la carga electrónica, y <math>\alpha^{-1}=a_0 / 2</math>. Halle la distribución de carga (continua y discreta) que dará lugar a este potencial e interprete este resultado físicamente.

==Solución==
Tenemos que el potencial posee simetría de rotación, por lo que todas las derivadas e integrales van a ser sobre la coordenada esférica radial <math>r</math>

<center><math>\phi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}\mathrm{e}^{-\alpha r}\left(1+\frac{\alpha r}{2}\right)</math></center>

Para la densidad de carga de volumen

<center><math>\rho = -\varepsilon_0\nabla^2\phi =
-\frac{\varepsilon_0}{r}\frac{\mathrm{d}^2\ }{\mathrm{d}
r^2}\left(r\phi\right)</math></center>

Calculamos esta derivada. Multiplicando por <math>r</math>

<center><math>r\phi = q\mathrm{e}^{-\alpha
r}\left(1+\frac{\alpha}{2}r\right) = \mathrm{e}^{-\alpha
r}f(r)</math></center>

la derivada de este producto es igual a

<center><math>\frac{\mathrm{d}^2\ }{\mathrm{d} r^2}\left(r\phi\right) =
\mathrm{e}^{-\alpha r}\left(f''(r)-2\alpha f'(r)+\alpha^2
f(r)\right)</math></center>

Sustituyendo <math>f(r)</math>

<center><math>\frac{\mathrm{d}^2\ }{\mathrm{d} r^2}\left(r\phi\right) =
q\mathrm{e}^{-\alpha
r}\left(0-2\alpha\left(\frac{\alpha}{2}\right)+\alpha^2\left(1+\frac{\alpha}{2}r\right)\right)
= \frac{q \alpha^3r \mathrm{e}^{-\alpha r}}{2}</math></center>

y la densidad de carga de volumen es

<center><math>\rho = -\frac{q \alpha^3 \mathrm{e}^{-\alpha
r}}{8\pi}</math></center>

Queda la carga del núcleo, que es una carga puntual. Esta la sacamos de que el sistema es neutro, (ya que el flujo del campo eléctrico tiende a 0 para <math>r\to\infty</math>). La carga de volumen podemos escribirla también como

<center><math>\rho = -\frac{\varepsilon_0}{r^2}\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d} r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}
r}\right)</math></center>

así que la carga total de volumen es

<center><math>Q_v = \int \rho\,\mathrm{d}\tau = 4\pi \int_0^\infty\rho\,r^2\,\mathrm{d}r =  -4\pi\varepsilon_0 \int_0^\infty\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}r}\right)\,\mathrm{d}r = 4\pi\varepsilon_0 \lim_{r\to 0}r^2\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}r}</math></center>

y este límite es <center><math>\phi = \frac{g(r)}{r}</math></center>

<center><math>r^2 \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}r}= r^2 \frac{r
g'(r)-g(r)}{r^2} = r g'(r)-g(r)</math></center>

<center><math>Q_v = 4\pi\varepsilon_0 \lim_{r\to 0}
r^2\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}r} =
-4\pi\varepsilon_0\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}=-q</math></center>

Por tanto la carga del núcleo es simplemente <math>+q</math>. Así pues, tenemos

* Una carga puntual <math>+q</math> situada en el núcleo 

* Una carga <math>-q</math> distribuida de forma exponencial en todo el espacio

<center><math>\rho = -\frac{q\alpha^3\mathrm{e}^{-\alpha
r}}{8\pi}</math></center>

o, juntándolo todo en una sola distribución

<center><math>\rho =
q\left(\delta(\mathbf{r})-\frac{\alpha^3\mathrm{e}^{-\alpha
r}}{8\pi}\right)</math></center>

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