Modelo de campo atómico

De Laplace

1 Enunciado

El potencial medio temporal de un átomo de hidrógeno neutro viene dado por

$\phi = \frac{q \mathrm{e}^{-\alpha r}}{4\pi\varepsilon_0 r} \left( 1 + \frac{\alpha r}{2} \right)$

en donde $q$ es la carga electrónica, y $α - 1 = a 0 / 2$ . Halle la distribución de carga (continua y discreta) que dará lugar a este potencial e interprete este resultado físicamente.

2 Solución

Tenemos que el potencial posee simetría de rotación, por lo que todas las derivadas e integrales van a ser sobre la coordenada esférica radial $r$

$\phi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}\mathrm{e}^{-\alpha r}\left(1+\frac{\alpha r}{2}\right)$

Para la densidad de carga de volumen

$\rho = -\varepsilon_0\nabla^2\phi = -\frac{\varepsilon_0}{r}\frac{\mathrm{d}^2\ }{\mathrm{d} r^2}\left(r\phi\right)$

Calculamos esta derivada. Multiplicando por $r$

$r\phi = q\mathrm{e}^{-\alpha r}\left(1+\frac{\alpha}{2}r\right) = \mathrm{e}^{-\alpha r}f(r)$

la derivada de este producto es igual a

$\frac{\mathrm{d}^2\ }{\mathrm{d} r^2}\left(r\phi\right) = \mathrm{e}^{-\alpha r}\left(f''(r)-2\alpha f'(r)+\alpha^2 f(r)\right)$

Sustituyendo $f (r)$

$\frac{\mathrm{d}^2\ }{\mathrm{d} r^2}\left(r\phi\right) = q\mathrm{e}^{-\alpha r}\left(0-2\alpha\left(\frac{\alpha}{2}\right)+\alpha^2\left(1+\frac{\alpha}{2}r\right)\right) = \frac{q \alpha^3r \mathrm{e}^{-\alpha r}}{2}$

y la densidad de carga de volumen es

$\rho = -\frac{q \alpha^3 \mathrm{e}^{-\alpha r}}{8\pi}$

Queda la carga del núcleo, que es una carga puntual. Esta la sacamos de que el sistema es neutro, (ya que el flujo del campo eléctrico tiende a 0 para $r\to\infty$ ). La carga de volumen podemos escribirla también como

$\rho = -\frac{\varepsilon_0}{r^2}\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d} r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d} r}\right)$

así que la carga total de volumen es

$Q_v = \int \rho\,\mathrm{d}\tau = 4\pi \int_0^\infty\rho\,r^2\,\mathrm{d}r = -4\pi\varepsilon_0 \int_0^\infty\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}r}\right)\,\mathrm{d}r = 4\pi\varepsilon_0 \lim_{r\to 0}r^2\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}r}$ y este límite es $\phi = \frac{g(r)}{r}$ $r^2 \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}r}= r^2 \frac{r g'(r)-g(r)}{r^2} = r g'(r)-g(r)$ $Q_v = 4\pi\varepsilon_0 \lim_{r\to 0} r^2\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}r} = -4\pi\varepsilon_0\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}=-q$

Por tanto la carga del núcleo es simplemente $+ q$ . Así pues, tenemos

Una carga puntual $+ q$ situada en el núcleo

Una carga $- q$ distribuida de forma exponencial en todo el espacio

$\rho = -\frac{q\alpha^3\mathrm{e}^{-\alpha r}}{8\pi}$

o, juntándolo todo en una sola distribución

$\rho = q\left(\delta(\mathbf{r})-\frac{\alpha^3\mathrm{e}^{-\alpha r}}{8\pi}\right)$

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