De Laplace

1 Enunciado

Un bloque rectangular, de masa m y lados 2a y 4a, descansa sobre un plano inclinado un ángulo β respecto de la horizontal. Se aplica sobre el punto A del bloque una fuerza , con F₀ > 0. La fuerza es horizontal al plano inclinado y el punto A está a una distancia h del plano. Consideramos en primera instancia que el contacto entre el bloque y el plano es liso. El ángulo β cumple

1. Dibuja el diagrama de cuerpo libre del bloque.
2. Encuentra el valor de F₀ para que haya equilibrio. Encuentra las expresiones de las fuerzas en esta situación.
3. Con las fuerzas obtenidas en el apartado anterior, encuentra las condiciones que debe cumplir h para que el bloque no vuelque hacia la izquierda ni la derecha.
4. Considera ahora que hay rozamiento entre el bloque y el plano inclinado, con coeficiente de rozamiento estático μ. Supongamos que F₀ = mg. Determina las condiciones que deben cumplir μ y h para que haya equilibrio frente a deslizamiento y vuelco.

2 Solución

2.1 Diagrama de cuerpo libre

Las fuerzas que actúan sobre el bloque son: la fuerza aplicada en el punto A, el peso en el centro de masas G y la fuerza vincular normal ejercida por el plano . Esta fuerza es en realidad la resultante de todas las fuerzas que ejerce el plano sobre el bloque en los puntos de su base. No sabemos donde se sitúa esta resultante a priori. Estas fuerzas se ajustan para intentar que el bloque no vuelque. Llamamos D al punto donde se aplica la resultante y δ a la distancia entre las rectas soporte de y . Este valor es una incógnita del problema. Las fuerzas pueden expresarse así en el sistema de ejes de la figura

2.2 Valor de F₀ en equilibrio

La primera condición de equilibrio es que la fuerza neta sobre el bloque sea cero

De aquí obtenemos

Las expresiones de las fuerzas son

2.3 Análisis del vuelco

La otra condición de equilibrio es que el momento neto de las fuerzas que actúan sobre el bloque sea nulo respecto de cualquier punto. Si calculamos los momentos respecto a G el peso no ejerce momento, y tenemos

Los vectores geométricos son

Entonces el momento neto buscado es

Entonces

La situación de vuelco inminente hacia la izquierda ocurre cuando el punto D coincide con el B, esto es, δ = − a. Entonces, para que no vuelque hacia la izquierda debe ocurrir

La situación de vuelco inminente hacia la derecha ocurre cuando el punto D coincide con el C, esto es, δ = + a. Entonces, para que no vuelque hacia la derecha debe ocurrir

Es decir, para que el bloque no vuelque debe ocurrir

2.4 Equilibrio con rozamiento

Ahora tenemos que incluir la fuerza de rozamiento en el diagrama de cuerpo libre, como se indica en la figura. Esta fuerza es la resultante de todas las fuerzas de rozamiento en los puntos de contacto entre el bloque y el plano inclinado. Es un vector deslizante cuya recta soporte es la que pasa por los puntos B y C. Su expresión es

No conocemos el sentido a priori, es decir, no conocemos el signo de f a priori.

Aplicamos las condiciones de equilibrio como antes. Aplicamos que en este caso F₀ = mg, como dice el enunciado.

Obtenemos entonces

La fuerza de rozamiento apunta hacia la izquierda con estos valores.

Volvemos a calcular el momento neto de las fuerzas respecto de G

Como la fuerza de rozamiento es un vector deslizante la podemos aplicar en cualquier punto de la base del bloque. El momento neto es

Entonces

2.4.1 Equilibrio frente a deslizamiento

Para que el bloque no deslice debe ocurrir

2.4.2 Equilibrio frente a vuelco

Para que no vuelque hacia la izquierda debe cumplirse

Para que no vuelque hacia la derecha

La condición para que no vuelque es

2.5 Errores comunes detectados en la corrección

1. Mucha gente puso la fuerza normal directamente en el punto E. Ya hemos explicado que eso no es correcto. La normal se sitúa para intentar evitar el vuelco. La posición de su recta soporte es una incógnita.