Velocidad de salida de un depósito

De Laplace

1 Enunciado

Un tanque cerrado contiene un líquido de densidad $ρ$ , y tiene un orificio lateral a una distancia $y 1$ del fondo. El diámetro del orificio es pequeño en comparación con el diámetro del tanque. El aire del interior del tanque que está encima del líquido se encuentra a una presión $p$ . Considera que se trata de un flujo laminar sin fricción.

Demuestra que la velocidad a la que el fluido sale por el orificio cuando la superficie del líquido está a una altura $h$ respecto a él es

$v_1 =\sqrt{\frac{2(p-p_0)}{\rho} + 2gh}$

Considera el caso $p = p 0$ . Calcula la distancia a la que llega el agua que sale del orificio en función de $y 2$ y $h$ . Supongamos que podemos variar la altura del orificio. Para un valor fijo de $y 2$ , ¿qué valor de $h$ hace máxima la distancia que alcanza el chorro?

2 Velocidad de salida

El principio de Bernouilli estable que para dos puntos situados en la misma línea de corriente

$p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g y = \mathrm{cte.}$

Consideremos entonces un punto “2” situado en la superficie superior del líquido y un punto “1” en el orificio, de forma que el líquido se mueve desde uno hacia el otro. En este caso, la relación anterior da

$p_1 + \rho g y_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 +\rho g y_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$

Para el punto 2 la presión es $p$ , la del gas que se encuentra en la cámara superior, la altura respecto al fondo es $y 2$ y la velocidad es la de descenso del nivel del depósito. Si suponemos que esta es muy pequeña, porque el tanque tiene una sección grande y el orificio es pequeño, podemos despreciarla.

Para el punto 1 la presión es la atmosférica, $p 0$ , la altura es $y 1$ y la velocidad es $v$ , la de salida. Sustituyendo queda

$p_0 + \rho g y_1 + \frac{1}{2}\rho v^2 = p + \rho g y_2$

Despejando

$v = \sqrt{\frac{2(p-p_0)}{\rho}+2g(y_2-y_1)} = \sqrt{\frac{2(p-p_0)}{\rho}+2gh}$

3 Alcance del chorro

Si la presión en la parte superior del líquido es la atmosférica (por ejemplo, porque el depósito no tiene tapa), la expresión anterior se reduce a

$v = \sqrt{2g(y_2-y_1)}$

Una vez que sale del depósito, el líquido sigue una trayectoria parabolica, en la que la posición inicial tiene una altura $y 1$ y una velocidad horizontal $v$ . A partir de ahí, la trayectoria del chorro es