Varilla apoyada sobre un disco

De Laplace

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1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

(Final Julio 2009, P2)

Se tiene un semidisco (sólido "0") de radio $R$ y peso $P 0$ sobre el que se apoya sin rozamiento una varilla (sólido "2") sin peso de longitud $a$ , articulada en el origen $O$ y que forma un ángulo $θ$ con la horizontal, como se indica en la figura. En el extremo de la varilla cuelga verticalmente una masa $M$ . El contacto del disco con el suelo (sólido "1") es rugoso con un coeficiente de rozamiento estático $μ$ .

Fragmente el sistema de sólidos y represente los correspondientes diagramas de sólido libre para los sólidos "0" y "2".
Determine la expresión de las fuerzas que actúan sobre cada uno de los sólidos del sistema en función de los datos del problema.
Si el ángulo $θ$ está fijado, ¿cuál es el valor máximo de la masa $M$ para que se mantenga el equilibrio?

Nota: Observe que el equilibrio puede perderse por traslación o rotación.

2 Solución

2.1 Diagramas de sólido libre

La figura adjunta muestra los diagramas de sólido libre de la varilla (sólido "2") y del semidisco (sólido "1"). Sobre la varilla actúan tres fuerzas. El peso que cuelga del extremo, $M\mathbf{g}$ , tiene sólo componente vertical. El contacto con el semidisco es liso, por lo que la fuerza de reacción, $\mathbf{\Phi}_{02}$ , es normal al disco, es decir, apunta hacia el centro de éste. Por último, la dirección de la fuerza en la articulación, $\mathbf{\Phi}_{12}$ , está determinada por el teorema de los tres centros. En efecto, cómo sobre la varilla actúan únicamente tres fuerzas, para que haya equilibrio es necesario que sus rectas soporte se corten en un punto. La descomposición de las fuerzas que actúan sobre la varilla es

$\begin{array}{l} M\mathbf{g}=-Mg\,\mathbf{j}\\ \\ \mathbf{\Phi}_{02} = -N_{02}\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{i} + N_{02}\cos\theta\,\mathbf{j}\\ \\ \mathbf{\Phi}_{12} = N_{12x}\,\mathbf{i} + N_{12y}\,\mathbf{j} \end{array}$

Por lo que respecta al sólido "0", también hay tres fuerzas que actúan sobre él: el peso $\mathbf{P}_0$ , la fuerza de contacto con el sólido "2" y la fuerza de reacción del suelo (sólido "1"). La descomposición de estas fuerzas es

$\left. \begin{array}{l} \mathbf{P}_0=-P_0\,\mathbf{j}\\ \\ \mathbf{\Phi}_{20} = -\mathbf{\Phi}_{02} = N_{02}\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{i}-N_{02}\cos\theta\,\mathbf{j}\\ \\ \mathbf{\Phi}_{10} = f_R\,\mathbf{i}+N_{10}\,\mathbf{j} \end{array} \right.$

Hemos usado la Tercera Ley de Newton para establecer que $\mathbf{\Phi}_{20}=-\mathbf{\Phi}_{02}$ . Por otro lado, el contacto con el suelo es rugoso, por lo que la fuerza $\mathbf{\Phi}_{10}$ tiene una componente normal al suelo (vertical) y otra tangente (horizontal). Es interesante señalar que el teorema de las tres fuerzas nos permite asegurar que, en condiciones estáticas, la fuerza $\mathbf{\Phi}_{10}$ debe estar aplicada en el punto $B$ , pues es el punto en que se cruzan las fuerzas $\mathbf{P}_0$ y $\mathbf{\Phi}_{20}$ .

2.2 Cálculo de las fuerzas

Para que un sólido rígido esté en equilibrio ha de cumplirse que tanto la resultante de las fuerzas que actúan sobre él y el momento total de esas mismas fuerzas sean ambos nulos. Escogemos el punto $O$ para calcular el momento, pues así eliminamos la contribución de $\mathbf{\Phi}_{12}$ . El momento total de las fuerzas que actúan sobre la varilla es

$\mathbf{M}_2 = \overrightarrow{OC}\times(M\mathbf{g}) + \overrightarrow{OA}\times\mathbf{\Phi}_{02}+\overrightarrow{OO}\times\mathbf{\Phi}_{12} = \overrightarrow{OC}\times(M\mathbf{g}) + \overrightarrow{OA}\times\mathbf{\Phi}_{02}= \mathbf{0}$

Calculamos los dos momentos no nulos

$\left. \begin{array}{l} \overrightarrow{OC}=a\cos\theta\,\mathbf{i}+a\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{j}\\ \\ M\mathbf{g}=-Mg\,\mathbf{j} \end{array} \right| \Rightarrow \overrightarrow{OC}\times(M\mathbf{g})=-aMg\cos\theta\,\mathbf{k}$ $\left. \begin{array}{l} \displaystyle \overrightarrow{OA}=R\frac{\cos\theta}{\tan\theta}\,\mathbf{i}+R\cos\theta\,\mathbf{j}\\ \\ \mathbf{\Phi}_{02}=-N_{02}\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{i} + N_{02}\cos\theta\,\mathbf{j} \end{array} \right| \Rightarrow \overrightarrow{OA}\times\mathbf{\Phi}_{02}=\frac{RN_{02}}{\tan\theta}\,\mathbf{k}$

Imponiendo que la suma de estos dos momentos sea nula obtenemos el valor de $N 02$

$N_{02}=\frac{Mga}{R}\mathrm{sen}\,\theta$

A partir de la condición de que la resultante de las fuerzas se anula determinamos el valor de la fuerza en la articulación

$M\mathbf{g}+\mathbf{\Phi}_{02}+\mathbf{\Phi}_{12}=\mathbf{0}\Rightarrow \mathbf{\Phi}_{12}=-M\mathbf{g}-\mathbf{\Phi}_{02}$

Aplicamos ahora las condiciones de equilibrio al sólido "0". A partir de la descomposición de las fuerzas que actúan sobre él, realizada en el apartado anterior, e imponiendo que la resultante de las fuerzas debe ser nula obtenemos

$\mathbf{P}_0+\mathbf{\Phi}_{20}+\mathbf{\Phi}_{10}=\mathbf{0}\Rightarrow \left| \begin{array}{l} \displaystyle N_{10} = P_0+\frac{Mga}{R}\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta\\ \\ \displaystyle f_R=-\frac{Mga}{R}\mathrm{sen}^2\theta \end{array} \right.$

El punto de aplicación de la fuerza de ligadura $\mathbf{\Phi}_{10}$ es el punto $B$ , pues el teorema de las tres fuerzas obliga a ello. Sin embargo, podríamos obtener este resultado suponiendo que el punto de aplicación es un punto cualquiera de la base e imponiendo que el momento resultante de las fuerzas se anulase. El resultado es que ese punto debe coincidir necesariamente con $B$ .

2.3 Condiciones de equilibrio

El equilibrio puede perderse por traslación o por vuelco. El primer caso ocurre cuando la fuerza de rozamiento es incapaz de hacer nula la resultante de las fuerzas. El segundo caso aparece cuando, al imponer la condición de momento resultante nulo, el punto de aplicación de la fuerza de ligadura entre el suelo y el semidisco cae fuera de la base del disco. En este problema, el equilibrio no puede perderse por vuelco, pues hemos visto que el punto de aplicación de $\mathbf{\Phi}_{10}$ es necesariamente el punto $B$ .

El valor máximo que puede alcanzar el módulo de la fuerza de rozamiento es

| f R | max = μ N 10

Así pues, para que haya equilibrio debe ocurrir

$|f_R|\leq |f_R|_{\mathrm{max}}=\mu N_{10}\Rightarrow N_{02}\mathrm{sen}\,\theta \leq \mu(N_02\cos\theta+P_0)$

La condición final para la masa que cuelga es

$M\leq M_{\mathrm{max}}=\frac{\mu P_0 R}{g\,a\,\mathrm{sen}\theta\cos\theta(\tan\theta-\mu)}$

Vamos a analizar este resultado. El denominador de la expresión se anula cuando $tanθ = μ$ , y el $M max$ se hace negativo cuando $tanθ < μ$ . Esto quiere decir que, para un valor dado del coeficiente de rozamiento, si el ángulo es lo bastante pequeño la condición de equilibrio se cumple para cualquier masa que cuelgue de la varilla. En estas condiciones no puede haber deslizamiento. Si la masa que cuelga es muy grande podría ocurrir en todo caso que la varilla se partiese. Esto se debe a, que si el ángulo es pequeño, la componente horizontal de la fuerza $\mathbf{\Phi}_{20}$ , que es la produce el deslizamiento, es muy pequeña y el rozamiento es capaz de mantener el equilibrio.

2.4 Errores comunes

La fuerza de rozamiento no es automáticamente igual a $μ N$ . Ese es el valor máximo que puede alcanzar. Solamente toma ese valor en condiciones de deslizamiento inminente. Si no es así el valor de $f R$ se obtiene de imponer que la resultante de las fuerzas sobre el semidisco es nula.

Varilla apoyada sobre un disco

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Diagramas de sólido libre

2.2 Cálculo de las fuerzas

2.3 Condiciones de equilibrio

2.4 Errores comunes

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