Tubo con dos cámaras de gas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Fuerza
3 Posición de equilibrio
4 Solución sin emplear el número de moles

1 Enunciado

Se tiene una cámara cilíndrica horizontal de 20 cm de diámetro y 60 cm de longitud de paredes rígidas no aisladas térmicamente. En el punto medio del tubo se encuentra un émbolo (de espesor despreciable) que puede desplazarse, aunque inicialmente está fijado con pernos. En la cámara de la izquierda hay 4.0 g de H₂ gaseoso y en la de la derecha 4.0 g de N₂. Los dos gases y el ambiente que los rodea están a 25°C.

Halle la fuerza que los gases producen sobre el émbolo cuando éste se encuentra en la posición central.
Determine la posición final del émbolo una vez que se liberan los pernos, suponiendo que todas las superficies son diatermas

2 Fuerza

Sea $H = 60\,\mathrm{cm}$ la longitud del tubo y

$S=\pi\frac{D^2}{4}= 314.16\,\mathrm{cm}^2$

su sección. El volumen cada gas es el mismo, la mitad del del cilindro

$V_1 = V_2 = \frac{SH}{2} = 9425\,\mathrm{cm}^3 = 9.425\times 10^{-3}\mathrm{m}^3$

y también son iguales sus temperaturas

$T_1 = T_2 = 298.15\,\mathrm{K}$

Sus presiones, sin embargo, son diferentes. Aunque en las dos cámaras se encuentra la misma masa de gas, el número de moles es diferente. Obtenemos la cantidad de moles dividiendo por el peso molecular. Para el hidrógeno

$P_m = 2.016\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{mol}}\qquad\Rightarrow\qquad n_1 = \frac{m}{P_m} = 1.984\,\mathrm{mol}$

y para el nitrógeno

$P_m = 28.0134\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{mol}}\qquad\Rightarrow\qquad n_2 = \frac{m}{P_m} = 0.143\,\mathrm{mol}$

En estas fórmulas se podían haber usado como masas moleculares 2 g/mol y 28 g/mol, y el resultado sería bastante aproximado al correcto.

Esto nos da la presión del hidrógeno

$p_1 = \frac{n_1 R T_1}{V_1}= \frac{1.984\times 8.314\times 298.15}{9.425\times 10^{-3}}\,\mathrm{Pa} = 522000\,\mathrm{Pa} = 5.22\,\mathrm{bar}$

y la del nitrógeno

$p_2 = \frac{n_2 R T_2}{V_2}= \frac{0.143\times 8.314\times 298.15}{9.425\times 10^{-3}}\,\mathrm{Pa} = 37600\,\mathrm{Pa} = 0.376\,\mathrm{bar}$

Obsérvese que al emplear todas las cantidades en el SI, ya el resultado queda directamente en pascales (o en un múltiplo como el bar), no siendo preciso el usar las atmósferas para hacer los cálculos.

Vemos que la presión es mucho mayor en el lado del hidrógeno, por haber muchos más moles de este gas.

La fuerza sobre el émbolo la obtenemos a partir de la diferencia de presiones

$F = (p_1-p_2)S = (522000-37600)\times 0.314\,\mathrm{N} = 15.2\,\mathrm{kN}$

Resulta una fuerza gigantesca, debida a la elevada diferencia de presiones entre los dos lados. Esta fuerza va dirigida desde el lado del hidrógeno, que está a mayor presión, hacia el del nitrógeno, donde es más reducida.

3 Posición de equilibrio

Si liberamos el pistón, este saldrá disparado (ya que se trata, en el fondo, de una pistola de aire comprimido), pero –suponiendo que no se rompa–, al expandirse el hidrógeno, se comprime el nitrógeno, con lo que la presión de uno disminuye y la del otro aumenta. Cuando se alcanza de nuevo el equilibrio mecánico, las dos presiones son iguales, aunque no sabemos cuanto vale, por ahora,

$p_1 = p_2\,$

y, puesto que el sistema tiene paredes diatermas, la temperatura de los dos gases será la misma e igual a la exterior

$T_1 = T_2 = 298.15\,\mathrm{K}$

Tampoco conocemos el volumen de cada gas, pero sí que juntos nos dan el volumen total. Si $h 1$ y $h 2$ son las longitudes de cada cámara en la dirección del eje del cilindro

$h_1 + h_2 = H\qquad\qquad V_1 = h_1S\qquad\qquad V_2 = h_2S$

Nos queda entonces el sistema de ecuaciones

$h_1+h_2 = H\qquad\qquad \frac{n_1RT_1}{Sh_1}=\frac{n_2RT_2}{Sh_2}\qquad\Rightarrow\qquad \frac{n_1}{h_1}=\frac{n_2}{h_2}$

con la solución

$h_1 = \frac{n_1H}{n_1+n_2}=56.0\,\mathrm{cm}\qquad\qquad h_2 = \frac{n_2H}{n_1+n_2}=4.0\,\mathrm{cm}$

Vemos que el hidrógeno se expande hasta ocupar casi todo el cilindro.

4 Solución sin emplear el número de moles

Este problema puede resolverse sin hallar previamente el número de moles, empleando simplemente la ley de los gases ideales.

Tenemos que inicialmente cada gas ocupa un volumen $V 0 / 2 = S L / 2$ y está a una temperatura $T 0$ (constante en todo momento).

Una vez que el pistón se mueve, las dos presiones son iguales a una presión final $p f$ , pero el volumen que ocupa cada gas no. La ley de los gases ideales nos da

$\begin{array}{rcl} p_fV_1 & = & \dfrac{m}{P_{m1}}RT \\ && \\ p_fV_2 & = & \dfrac{m}{P_{m2}}RT \end{array}$

Si sumamos estas dos ecuaciones y aplicamos que $V 1 + V 2 = V 0$ queda

$p_f V_0 = \left(\frac{m}{P_{m1}}+ \frac{m}{P_{m1}} \right)RT = \frac{m(P_{m1}+P_{m2})RT}{P_{m1}P_{m2}}$

(aquí se ha usado que las dos masas son iguales; si son diferentes habrá que indicar $m 1$ y $m 2$ , pero la lógica de la solución es la misma). De aquí obtenemos la presión final